几何意义如右图，曲线VBy=f(x)的两个端点A,By= f(x)连线的斜率为4kAB= J(b)-I(a)bx0asb-a用平行推移的方法，曲线上至少在一点（5（））处的切线与 AB平行,其斜率 f()也等于 kAB后页返回前页
前页 后页 返回 几何意义 如右图， ( ) ( ) . AB f b f a k b a − = − A B O x y a b y f x = ( ) 用平行推移的方法,曲线上至少在一点 ( , ( )) f 连线的斜率为 y = f (x) 的两个端点 A, B 处的切线与 AB 平行, 其斜率 f ( ) 也等于 . AB k 曲线
定理的证明设F()=- f(x)_ ()-I(a)(x-a)-I(a)b-a(= T(b)- T(a(x-a)+ (a) 是直线 AB的方程)b-a可以验证F(x）满足罗尔定理的三个条件，所以(a,b),使F'(5)=0,I(5) - f(b) -f(a)即b-a后页返回前页
前页 后页 返回 定理的证明 设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a f a b a f b f a F x f x − − − − = − ( ) ( ) ( ( ) ( ) f b f a y x a f a AB b a − = − + − 是直线 的方程) 可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件, 所以 (a ,b) , 使 F( ) = 0, 即 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − =
推论1 设f(x)在区间 I上的导函数f(x)=0,则f(x)是一个常值函数证 对于区间I上的任何两点,与x2,<xf(x)在[xi,x]上满足拉格朗日定理的条件，则有f(x)-f(xi)= f'(5)(x -x)=0, e(xi,x)这就是说，f(x)在区间I上的任何两个值都相等，所以为常值函数返回前页后页
前页 后页 返回 推论1 设 f (x) 在区间 I上的导函数 f (x) 0 , 则 f (x) 是一个常值函数. 证 对于区间 I上的任何两点 x1 与 x2 , , x1 x2 f (x) 在[x1 , x2 ]上满足拉格朗日定理的条件, 则有 ( ) ( ) ( )( ) 0 , ( , ). 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − = 这就是说, f (x) 在区间I上的任何两个值都相等, 所 以为常值函数
推论2 若函数f 和g均在区间I上可导,且f'(x) = g(x), xe I,则在区间I上f(x)与g(x)只差某一常数,即f(x)=g(x)+c (c为某一常数)前页后页返回
前页 后页 返回 推论2 若函数 f g I 和 均在区间 上可导,且 则在区间 I f x g x 上 ( ) ( ) 与 只差某一常数,即 f x g x x I ( ) ( ), , f x g x c c ( ) ( ) = + ( 为某一常数)
推论3（导数极限定理）设函数f在点x,的某邻域U(x)内连续，在U(x,)内可导，且极限limf'(x)x→xo存在，则f在点x，可导，且f'(x,)= lim f'(x)x-→xo证分别按左右极限来证明(1)任取xeU(x,),f(x)在[xo,x)上满足拉格朗日返回前页后页
前页 后页 返回 0 推论3 (导数极限定理) 设函数 f x 在点 的某邻域 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x → = 证 分别按左右极限来证明. → 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x U x U x f x 内连续,在 内可导,且极限 0 存在,则 在点 可导,且 f x0 0 (1) ( ), ( ) [ , ] x U x f x x x 任取 + 在 上满足拉格朗日