引理6-41设在一个布尔格中b∧c=0当且仅当b≤c 口证明:(1)先证b/c=0→bsc 若b∧c=0,因为0Vc=c, 则(bAc)∨c=c 根据分配性,就有 (bVc)∧(cVc)=c 即(bVc)∧1=c 所以 bVC=c 又因为b≤b∨c 所以 ≤c (2)再证bsc→b∧c=0 若b≤C,则b∧c<c∧c即b∧c<0,所以b∧c=0口
6 引理6-4.1 设在一个布尔格中,b∧c=0当且仅当b ≤c。 证明：(1)先证 b∧c=0 b ≤ c 若 b∧c=0， 因为 0∨c=c ， 则 (b∧c)∨c=c 根据分配性，就有 (b∨c) ∧ (c∨c) =c 即 (b∨c) ∧1 =c 所以 b∨c =c 又因为 b ≤ b∨c 所以 b ≤ c (2)再证 b ≤ c b∧c=0 若b≤c,则b∧cc∧c,即b∧c0，所以b∧c=0
引理6-42设<AV,∧,>是一个有限布尔代数若 b是A中任意非零元素,a1,a2,…,ak是A中满足asb 的所有原子(j=1,2,,k),则 b=a,va2 V.Va k 口证明:(1先证a1Va2V…aksb 记a1Va2…Vak=c因为a]sb,所以csb (2)再证bsa1Va2V…ak 由引理641知要证bc若是原子,只需证b∧c=0, 反设b∧c≠0,于是必有一个原子a,使得asb∧c 又因b∧csb,和b∧c≤c,所以asb和asc, 因为a是原子且asb所以a必是a1a2,…,ak中的 个因此asc,已有asc,得asc∧c,即a0,与a是原子矛盾 b∧c≠0假设不成立。综合(们和(2定理得证。□°
7 证明：(1)先证 a1∨a2∨…∨ak ≤ b 记a1∨a2∨…∨ak =c,因为aj ≤ b,所以c ≤ b。 (2)再证 b ≤ a1∨a2∨…∨ak 由引理6-4.1知,要证b≤c若是原子,只需证b∧c=0, 反设b∧c≠0,于是必有一个原子a,使得a≤b∧c。 又因b∧c≤b,和 b∧c≤c, 所以 a≤b 和 a≤c , 因为a是原子,且a≤b,所以a必是a1 , a2 , …, ak中的一 个,因此 a≤c,已有a≤c,得a≤c∧c,即a≤0, 与a是原子矛盾。 b∧c≠0假设不成立 。综合(1)和(2)定理得证。 引理6-4.2 设<A,∨,∧, - >是一个有限布尔代数,若 b是A中 任意非零元素， a1 , a2 , … , ak是A中满足aj ≤b 的所有原子（j=1,2,…,k） ,则 b = a1∨a2∨…∨ak