从而lmt=0. 于是, li (2x+Ax (x+4x)√1-x2+x√1-(x+△x) arc sint (r)y i arc tgr: Ay arc tg(x+ A)arc tgr arc t g 十x(x+△x) ag1+x(x+△x) 1+x(x+△x) i +r(x+ Ar) 于是, arc tg lit x(x+△x Ax…0 1+x(x+△x)
其中利用!m ire【gt li u+ tgu 829.没: f(x)(r-1)(x-2)2(x-3)3, 求f(1),f(2)和(3) 解f(x) 2)2(x-3) 2(, 2)( 3(x-·1)(x-2)(x-3)2 2(x-2)(x-3)2(3x2-11x+9) 」是, 8;f"(2)=f(3)=0 830.设 SIn( 求f(2). A '(x)=2rsin(x-2)+x?cos(r-2 于是 831.设: f()=x+(x-1)arc sinN+1 求疒(1) 12
解方法一: 若用复合函数求导法,可得 f(x)=1+ arc sin Nx+I (x+1)√x 于是, f(1)==1+ arc sin 4 方法二 若按定义作,注意到当x=1时, △y 1+ arc sin v2+△x 即得 f(1)= lim 41 lim 1+arc sin + Ar A.·0 2+△x 1 4 832设函数∫(x)在a点可微分,求 lit 解设4x=x-a,则当x→a时,4x→0.于是, 得 f(x)-f(a) =limf(a+△x)-f(a) f(a) 833.证明:若函数∫(x)可微分及n为自然数,则 13
limi 反之,若对于函数f(x)有极限(1)存在,则可否断定 这个函数有导函数?研究迪里黑里函数的例子(参阅第 章第734题) 证timn +1)-f(x +n)-f(x) lim =f(x) 反之,就不一定对了.例如,对于迪里黑里函数 1,若x为有理数 X(r) 0,若x为无理数, 在任一有理点是不连续的,当然其导数也不存在但由于 x+仍为有理数,故当x为有理数时, xI r+ 1 X(x)=1-1=0, 从而,极限(1) limn(x(x+1-x(x)=0 纯7 存在 利用导函数表,求下列函数的导函数: 834.y=2+x-x2.问y(0);y2/y(1);y(-10)等于 甚么? 解由于y(x)=1-2x,故得 14
(0)=1; y(-10)=21 835y=3+2-2x.当x为何值时 (a)y(x)=0;(6)y(x) 2;(B)y(x)=10? 解y(x) 2 (a)令y(x)=0,得x2+x-2=0.于是,x 2或x (6)令y(x)=-2,得x2+x=0.于是,x=-1或x 0 令y 0;得x2+x-12=0.于是 4或 836.y=a5+5a3 解y=10a3x-5x 837.y=4+b b 解y b 838.y=(x-a)(x-b) 解y =2 b 839.y=(x+1)(x+2〉2(x+3) 解y=(x+2)2(x+3)3+2(x+1)(x+2)(x+3)3 十3(x十1)(x+2)2(x+3) i5