证这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明K元元),因此(2) 设 f(x)= sin x,由于f(k)(x) = sin(x+=2f(2k)(0) = 0, f(2k-1)(0) =(-1)k-1,k =1,2,, n.把它们带入公式（6），便得到SinX的麦克劳林公式。需要说明的是：由于这里有T2m-I(x) = T2m(x),因此公式中的余项可以写作o(x2m+l),也可写作o(x2m)关于公式3）中的余项可作同样说明。(4)设f(x)= ln(1 +x). 由于1f(k) (x) =(-1)k-'(k -1)!(1 + x)-k,k = 1, 2,.*, n,Y1 + x因此f(k)(0) =(-1)k-(k-1)!, k = 1,2, -,n
证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明。 （2）设 ( ) ( ) sin , ( ) sin( ), 2 k k f x x f x x = = + 由于 因此 (2 ) (2 1) 1 (0) 0, (0) ( 1) , 1, 2, , . k k k f f k n − − = = − = 把它们带入公式（6），便得到 sin x 的麦克劳林公式。需要说明的是：由于这里有 2 1 2 ( ) ( ), T x T x m m − = 因此公式中的余项可以写作 2 1 ( ), m o x + 也可写作 2 ( ). m o x 关于公式3）中的余项可作同样说明。 (4) ( ) ln(1 ). 设f x x = + 由于 1 ( ) 1 ( ) , , ( ) ( 1) ( 1)!(1 ) , 1, 2, , , 1 k k k f x f x k x k n x − − = = − − + = + 因此 ( ) 1 (0) ( 1) ( 1)!, 1, 2, , . k k f k k n − = − − =
例3 求ln x 在 x=2处的泰勒公式。x-2解 由于 In x = In[2 +(x -2)] = In 2 + ln(1因此--21(x- 2)? +..In x = ln2 + -2.22210-x-1)" +o(x -2)")n.2n根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式。x?cosx-e 2lim例4求极限tx-→0解本题可用洛必达法则求解，在这里可应用泰勒公式求解。考虑到极限式的A分母为x4，我们可用麦可劳林公式表示极限的分子（取 n=4,并利用例2）：
例3 求 ln x 在 x = 2 处的泰勒公式。 解 2 2 1 2 ln ln 2 ( 2) ln 2 ln(1 ), 2 1 1 ln ln 2 ( 2) ( 2) 2 2 2 1 ( 1) ( 1) (( 2) ). 2 n n n n x x x x x x x o x n − − = + − = + + = + − − − + + − − + − 由于 因此 根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式。 例4 求极限 2 2 4 0 cos lim . x x x e x − → − 解 本题可用洛必达法则求解，在这里可应用泰勒公式求解。考虑到极限式的 分母为 4 x ，我们可用麦可劳林公式表示极限的分子（取 n = 4, 并利用例2）：
把它带入公式（6），便得In(1+x）的麦可劳林公式。x2例2 写出 f(x)=e 2 的麦可劳林公式, 并求 f(98)(O)与f(99)(0)解用（）替换公式1）中的x，便得22.2n4xx21福02"n!2?.2!2由泰勒公式系数的定义，在上述(3)的麦可劳林公式中,x98 与x的系数分别为111049(0) = 0249.49!'99!98!98!(99)C(98)由此0249.49!
把它带入公式（6），便得 ln(1 ) + x 的麦可劳林公式。 例2 写出 2 2 ( ) x f x e − = 的麦可劳林公式，并求 (98) (99) f f (0) (0). 与 解 用 2 ( ) 2 x − 替换公式1）中的x,便得 2 2 4 2 2 2 2 1 ( 1) ( ). 2 2 2! 2 ! x n n n n x x x e o x n − = − + + + − + 由泰勒公式系数的定义，在上述f(x)的麦可劳林公式中， 98 99 x x 与 的系数 分别为 (98) 49 (99) 49 1 1 1 (0) ( 1) , (0) 0. 98! 2 49! 99! f f = − = 由此 (98) (99) 49 98! (0) , 0. 2 49! f f = − =