《机械工程控制基础》课程授课教案（讲义）第五章 系统的稳定性

素改变次数为2，所以有2个具有正实部的根。 1 1 1 S322 0(s)1 2-20 S03 例5.5：s2+2x2+2s+2=0 解：第一列中除￡外均为正，所以没有正实部的根$行为零，说明 有虚根存在。 s311 s22 2 S 0(e) S02 实际上：52+252+25+2=(62+105+2)=0 s=-2±j,临界稳定。 若在Routh阵列表中，某行的各元素全部为0，可利用改行的上一行 的元素构成一个辅助多项式，并利用这个项式方程的导数的系数组成表 中的下一行，然后继续往下做。 例5.6：s6+2s+8s+123+20s2+16s+16=0 S6182016 S521216 S21216 s000 辅助多项式：4(s)=2s+12s2+16 对A(s)进行求导：4=8s+24s

素改变次数为 2，所以有 2 个具有正实部的根。 4 3 2 1 0 1 1 1 2 2 0( ) 1 2 2 0 3    Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ < Ｓ 例 5.5： 3 2 s s s     2 2 2 0 解：第一列中除ε外均为正，所以没有正实部的根 Ｓ1 行为零，说明 有虚根存在。 3 2 1 0 1 1 2 2 0( ) 2  Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 实际上： 3 2 2 s s s        2 2 2 (s 1)(s 2) 0 s 2 j    ，临界稳定。 若在 Routh 阵列表中，某行的各元素全部为 0，可利用改行的上一行 的元素构成一个辅助多项式，并利用这个项式方程的导数的系数组成表 中的下一行，然后继续往下做。 例 5.6： 6 5 4 3 2 s 2s 8 12 20 16 16 0        s s s s 6 5 4 3 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 0 0 0 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 辅助多项式： 4 2 A s s s ( ) 2 12 16    对 A(s)进行求导： 3 ( ) 8 24 dA s s s ds  

S6182016 S521216 S21216 S3824 S2616 S16 6 s°16 从表中可知：第1例系数无变号，说明系统无右根。但因为S3辅行 的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。 辅助方程：2+12x2+160 =2(s2+2)(s2+4)=0 =士瓦，4=2系统处于临界稳定。 作业 1.一单位负反馈系统的开环传递函数为G,=++求该系 K 统稳定的K值范围。 2.已知系统的闭环传递函数为G,)=+59g+3s+2,试用Routh 65+1 判据判断系统的稳定性。 二、Hurwitz判据 设系统特征方程为： ans°+an-s-+. +a5+a=0(an>0)

6 5 4 3 2 1 0 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 16 6 16 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 从表中可知：第 1 例系数无变号，说明系统无右根。但因为 S3 辅行 的各项系数全为 0，说明虚轴上有共轭虚根。 辅助方程： 4 2 2 2 2 12 16=0 =2( 2)( 4)=0 s s s s     1,2 3,4 s j s j     2 , 2 系统处于临界稳定。 作 业 1. 一单位负反馈系统 的开环传递函数为 ( ) ( 1)( 5) k K G s s s s    ，求该系 统稳定的 K 值范围。 2. 已知系统的闭环传递函数为 4 3 2 6 1 ( ) 5 9 3 2 B s G s s s s s       ，试用 Routh 判据判断系统的稳定性。 二、Hurwitz 判据 设系统特征方程为： 1 1 1 0 0 n n n n n a s a s a s a a        ( >0)

口-1an-3an-g.0 a -a-3.0 各系数排成如下的nxn阶行列式：△= 0 0 an-2.0 0 0 00 :. :a0 :424o 系统稳定的充要条件：主行列式△n条及其对角线上各子行列式△1 △2.△(1)均具有正值。 A1=an-1>0 43=a。a-2an-5>0 0a-1an-3 由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也较 方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少用。 例5.7：s+8s2+1752+16s+5=0 解： 181600 A= 1750 08160 01175 4=8>0 4-890

各系数排成如下的 nxn 阶行列式： 1 3 5 2 4 1 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a           系统稳定的充要条件：主行列式△n 条及其对角线上各子行列式△1 △2 .△（n-1）均具有正值。 1 1 0 n a     1 2 0 n n n n a a a a       ３ ２ 1 0 0 n n n n n n n n a a a a a a a a           ３ 5 ３ ２ 5 １ ３ 由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也较 方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少用。 例 5.7: 4 3 2 s s s s      8 17 16 5 0 解： 8 16 0 0 7 5 0 0 8 16 0 0 1 17 5   1 1   8 0 2 8 16 0 1 17   