可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为幅值有 界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解)直观，对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义
可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为幅值有 界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）直观，对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义
s5-2.Routh(劳斯)稳定判据 线性定常系统稳定◆→全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点·判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难 (>4)，这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布， 从而判断系统稳定性的方法。 [1884,Routh提出的Routh判据：1895，Hurwitz提出Hurwitz判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件：设系统的特征方程为： an”+an-3-++a3+a=0 a +.+ =(S-SS-S2).(S-Sn)=0 a。 =S"∑S-+(∑SS,S-2-.(-1rS /-2 =-6+S++S,)=-2s =SS:+Ss,+.+5.S.=SS 1L2 2=-65,+s5.5++53)=-立S 0。 23 55,5)-s 由上式可知，要使全部特征根S,S,.S均具有负实部，必须满足如下 2个条件：
§5-2. Routh（劳斯）稳定判据 线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难 （n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布， 从而判断系统稳定性的方法。 [1884，Routh 提出的 Routh 判据；1895，Hurwitz 提出 Hurwitz 判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件：设系统的特征方程为： 1 1 1 0 0 n n n n a s a s a s a 1 0 1 1 1 2 ( )( ) ( ) 0 n n n n n n n a a a s s s S S S S S S a a a 1 1 1 1, 2 ( ) ( ) ( 1) n n n n n n n i i j i i i j i i j S S S S S S S ２ 1 1 2 1 ( ) n n n i n i a S S S S a 2 1 2 1 3 1 1, 2 n n n n i j n i j i j a S S S S S S S S a 3 1 2 3 1 2 4 2 1 1, 2, 3 0 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) n n n n n i j k n i j k i j k n n n n i n i a S S S S S S S S S S S S a a S S S S a 由上式可知，要使全部特征根 1 2 n S S S 均具有负实部，必须满足如下 2 个条件：
(1)特征方程的各项系数ai(0,n)不等于0。 (2)特征方程的各项系数ai(0,.,n)符号都相同，一般a>0。 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0。 Routh阵列表 sa答，a s盈4. S-3BB☐BB,. DD S E 系数A、B,的计算，一进行直到其余A、B,.等于0为止。 A=42-a B=40-40 dn- dn- 4-0800B=4004 a a 4=006-a.01B=4a-a4 an-l a-1 这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0行仅有一项且F1=0。 为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh判据还说明：实部为正的特征根数等于Routh阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例5.1设控制系统的特征方程式为： s+8s2+17s2+165+5=0试判断系统的稳定性
(1) 特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)不等于 0。 (2)特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)符号都相同，一般 ai>0。 2.充要条件：Routh 阵列中第一列所有项均为正，且值不为 0。 Routh 阵列表 1 1 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A A A A B B B B D D E F -2 -4 -6 -3 -5 -7 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 系数 Ai、Bi的计算，一进行直到其余 Ai、Bi .等于 0 为止。 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n a a a a A a A a A B a a ２ 1 4 5 1 5 1 3 2 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a ２ 1 6 7 1 7 1 4 3 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a ３ 这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0 行仅有一项且 F1=a0。 为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh 判据还说明：实部为正的特征根数等于 Routh 阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例 5.1：设控制系统的特征方程式为： 4 3 2 s s s s 8 17 16 5=0 试判断系统的稳定性
解：a>0→满足必要条件 Routh阵列： 1 175 8 16 s215 5 200 15 由第一列看出：全为正值，故稳定。 例5.2：s+2s2+352+45+3=0 解： s 133 24 s 1 3 -2 →符号只改变一次 3 →符号只改变一次 由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统又2个正实部的根， 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n≤3)的系统，Routh判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统：4,52+a3+4。=0 所以，二阶系统稳定的充要条件：aD0 三阶系统：a,s+a,s2+a,3+a=0
解：ai>0 满足必要条件 Routh 阵列： 4 3 2 1 0 1 17 5 8 16 15 5 200 15 5 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 由第一列看出：全为正值，故稳定。 例 5.2： 4 3 2 s s s s 2 3 4 3=0 解： 4 3 2 1 0 1 3 3 2 4 1 3 2 3 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 由第一列看出，改变符号 2 次，说明闭环系统又 2 个正实部的根， 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n ≤3)的系统，Routh 判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统： 2 2 1 0 a s a s a 0 2 2 0 1 1 0 0 a a a a Ｓ Ｓ Ｓ 所以，二阶系统稳定的充要条件：ai>0 三阶系统： 3 2 3 2 1 0 a s a s a s a 0 符号只改变一次 符号只改变一次
a saa-axdo sa 所以，三阶系统稳定的充要条件：aD0且a,a>a,4 例53：设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范 围。 x08 K Xo(s) s(s+10(s+2) 图5.3反馈控制系统 解：系统闭环传函： K G)=七，9.+s+2 X1+s+s+2 2+352+2s+K 特征方程：s3+32+25+K=0 a>0→K>0 aa>ado aa>ado K<60<K<6 3.Routh判据的特殊情况 (I)若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0，而后各元素不 为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。此时可用E趋 于0代替，再计算。 例5.4：s+2s3+52+2s+1=0 解：因为第1例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元
3 3 1 2 2 0 1 2 1 3 0 2 0 0 a a a a a a a a a a Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 所以，三阶系统稳定的充要条件：ai>0 且 2 1 3 0 a a a a 例 5.3： 设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的 K 值范 围。 图 5.3 反馈控制系统 解：系统闭环传函： 0 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( ) 3 2 1 ( 1)( 2) i K X s s s s K G s X s s s s K K s s s 特征方程： 3 2 s s s K 3 2 0 0 i a K 0 2 1 3 0 a a a a 2 1 3 0 a a a a K 6 0 6 K 3.Routh 判据的特殊情况 (1) 若在 Routh 阵列表中任意一行的第 1 个元素为 0，而后各元素不 为 0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。此时可用ε趋 于 0 代替，再计算。 例 5.4： 4 3 2 s s s s 2 2 1 0 解：因为第 1 例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元 2 1 3 0 a a a a