2-10 例:用幂法求矩阵A=02-1的按模 0-12 最大的特征值和相应的特征向量 取x0)=(0,0,1),E≤103 解:y10=x)=(0,0,1), 0)=(0,-1,2),O=2, 2a(O,-0.5,1) x2)=Ay)=(0.5,-2,2.5),O=2.5
(0) 3 (0) (0) (1) (0) (1) (1) (2) (1) 2 1 0 0 2 1 0 1 2 (0,0,1) , 10 . (0,0,1) , (0, 1, 2) , 2, (0, 0.5,1) , (0.5, 2, 2.5) , T T T T T A x y x x Ay x y x Ay − − = − − = = = = = − = = = − = = − = 例：用幂法求矩阵 的按模 最大的特征值和相应的特征向量。 取 解： 2.5
(2.7650948,-2.9981848,2.9990924) 0=2.9990924 y=(0.9219772,-0.9996973,1) 由29996973-2.9990924=0.0006049<10 9)=Ay8)=(28436517-299996,2.9996973 故λ1≈2.996973.相应特征向量为 ≈(28436517,-2.993946,2.9996973)。 事实上,硇的特征值A=3,2=2,A3=, 与4对应的特征向量为(1,-1,1 此例中比值为=2 3
(8) (7) (8) (9) (8) 3 1 (2.7650948, 2.9981848, 2.9990924) 2.9990924 (0.9219772, 0.9996973,1) (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973). 2.9996973 2.9990924 0.0006049 10 . 2.9996973. x Ay y x Ay − = = − = = − = = − − = 由 故 相应特 1 2 3 1 2 1 (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973) 3, 2, 1 1 -1,1 2 . 3 T u A − = = = = 征向量为 。 事实上， 的特征值 ， 与 对应的特征向量为（， ）。 此例中比值为
两种特殊情况 前面假定λ>λ2|如果按模最大的特征值有多 即4=2|=…=2m>14m|≥…≥ 幂法是否有效? (1)41是m重根,即=2=…=n,矩阵A仍有n个 线性无关的特征向量。此时有 x(+1)=4+[a1u1+…+anun m+1、k+1 k+1 入1 m+1llm+1+…… 显然,只要12…,cn不全为零,当k充分大时,就有 x(+1)≈A+(ax1l4+…+ al.u)
两种特殊情况 1 2 1 2 1 1 1 2 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 , [ ( ) ( ) ] m m n m k k m m m n k k m m n n m A n x u u u u + + + + + + + + = = = = = = = + + + + + 前面假定 如果按模最大的特征值有多个， 即 幂法是否有效？ （ ） 是 重根，即 矩阵 仍有 个 线性无关的特征向量。此时有 显然 1 ( 1) 1 1 1 1 , , ( ) m k k m m k x u u + + + + ，只要 不全为零，当 充分大时，就有
arl4+…+anln,是矩阵4相应于λ的特征向量 Aa u 11=1a11,Aax2l2=12a2 m mm →A(al1+a122+…+anun)=1a14+2a22+…+2nnln 1(a11+a2l2+…+Onln) 因a1l4+…+αnun也是矩阵A相应于λ的特征向量,故有 (k+1) 1=1 1.≈ 为相应的特征向量,即对这种情况幂法仍然有效
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 12 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , , ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m u u A A u u A u u A u u A u u u u u u u u u u u A + + = = = + + + = + + + = + + + + + 也是矩阵 相应于 的特征向量 因 也是矩阵 相应于 的特征向量，故有 ( 1) 1 2 ( ) ( 1) k i m k i k x x x + + = = = 为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效
2)A1=-212|>23,且矩阵有n个线性无关的特征向量。 x+)=24a14+(-1)a2l2+(a342+…+()ann 由上式可知x是个摆动序列,当k充分大时,有 x(2k-)≈2-(a1l4-a2l2)x(2)≈(ax14+a2l2) (k+2) 2≈±x(k+2)/、(k 又由x6+1)≈[a1l4+(-1)+a12 x()≈x[ax1+(-1a2l2 (k+1) (k) 2 +1 +Mx x+)-1x(6)≈24+(-1)+1a2l2 故在这种情况下,仍可按幂法产生向量序列
1 2 1 3 ( 1) 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 1 1 ( 1) (2 1) 2 1 (2 ) 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ( 2) 2 ( 1 1,2 ( ) 2 , , [ ( 1) ( ) ( ) ] ( ) ( ) k k k k k n n n k k k k k k k i k i i A n x u u u u x k x u u x u u x x x + + + + + + − − + = − = + − + + + − + （ ） 且矩阵 有 个线性无关的特征向量。 由上式可知， 是个摆动序列，当 充分大时，有 2) ( ) ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 1 1 2 2 ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 1 1 1 2 2 / [ ( 1) ] [ ( 1) ] 2 2 ( 1) k i k k k k k k k k k k k k k x x u u x u u x x u x x u + + + + + + + + + + − + − + − − 又由 故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列