由此可知II x I= x x =[-[" e-4" Bu(t)dt}’ xo=-{(f" u (t)B'e-Aidt)xo=- J' u' (t)[B'e-A'tx ]dt = 0这与x。≠0矛盾，所以存在时刻t，使得W.[O,t]非奇异,注：对线性定常系统系统完全能控→W[O,t]非奇异→系统完全能达
由此可知 注：对线性定常系统 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || || [ ( ) ] { ( ) } = ( )[ ] 0 T T t T At T t T T A t t T T A t x x x e Bu t dt x u t B e dt x u t B e x dt 0 1 1 0 [0, ] c x t W t 这与 矛盾，所以存在时刻 ，使得 非奇异。 1 [0, ] Wc 系统完全能控 t 非奇异 系统完全能达
秩判据结论4.2[能控性秩判据]对n维连续时间线性时不变系统x=Ax+Bu,x(O)=x，t≥0构造能控性判别矩阵O.=B:AB:...:A"-1B则系统完全能控的充分必要条件为：rankO.= rankB: AB:...:A"-"B= n
Ø 秩判据 结论4.2 [能控性秩判据]
证：先证充分性，反证法假设系统不完全能控，则对任意时刻tW.[0,t]=["e-4"BBTe-A"tdt 为奇异阵。从而，O≠αR"，使得O =α"W.[0,t ]α = [" α"e-A" BB'e-Atαdt("[α"e-A" B][α'e-A" B]’ dt二αTe-At B= O, t E[O,t]
证：先证充分性，反证法 1 1 1 0 [0, ] t T At T A t c t W t e BB e dt 假设系统不完全能控，则对任意时刻 为奇异阵。 1 1 1 0 0 1 0 0 [0, ] [ ][ ] 0, [0, ] T n t T T At T A t c t T At T At T T At R W t e BB e dt e B e B dt e B t t 从而， ，使得
上式对t求导，直至n-1次，并令t=0,得α"B=O,α"AB=O,... αTAn-IB=0由此得αT[B |AB|A?B |...|An-B|=α"Q.=0这与 rankQ.=n 矛盾。下证必要性，反证法假设 rankQ。<n，即行向量线性相关．从而，30≠αER"使得α"Q.=αT[B 1 AB /...|An-"B]=O =αTA'B= 0,i=0,12....n-1
上式对 t 求导, 直至 n-1 次，并令t=0, 得 由此得 下证必要性，反证法 -1 0, 0, ., 0 T T T n B AB A B 2 -1 [ | | | . | ] 0. T n T c c B AB A B A B Q rankQ n 这与 矛盾。 -1 , 0 , [ | | | ] 0 0, 0,1,2,. -1 n c T T n c T i rankQ n R Q B AB A B A B i n 假设 即行向量线性相关. 从而， 使得
由凯莱-哈密顿定理：A"，An+I，...均可由I，A，A?…..An-I来表示，从而αT A'B= 0,i=0, 1, 2, ...由此可知：A'tiB= 0.ate[0,tl, i=0,1,2,..i!二424A +...]B=α'e-AB, te[O,t]0=αT[I - At +2!3!由上式得：e-At BBT e-At dt)α = αTW,[O,t Jα1.这表明：格拉姆矩阵WO,t1奇异，这与系统完全能控矛盾
由凯莱-哈密顿定理： 由此可知： 由上式得： 1 2 1 , , . , , ,., 0 0, 1, 2, . n n n T i A A I A A A A B i 均可由 来表示，从而 ， 1 2 2 3 3 - 1 0, [0, ], 0,1,2,. ! 1 1 0 [ - - .] , [0, ] 2! 3! i i T T T At A t B t t i i I At A t A t B e B t t 1 1 0 0 { } [0, ] t T T At T A t T c e BB e dt W t 1 [0, ] Wc 这表明：格拉姆矩阵 t 奇异，这与系统完全能控矛盾