《现代控制理论》课程教学资源——参考资料_第四章 线性系统的能控性和能观测性

第4章线性系统的能控性和能观测性4.1自能控性和能观测性的定义4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据4.3连续时间线性时不变系统的能观测性判据4.4连续时间线性时变的能控性和能观测性4.5对偶性原理4.6能控规范形和能观测规范形：单输入单输出4.7能控规范形和能观测规范形：多输入多输出4.8连续时间线性时不变系统的结构分解

第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据 4.3 连续时间线性时不变系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变的能控性和能观测性 4.5 对偶性原理 4.6 能控规范形和能观测规范形：单输入单输出 4.7 能控规范形和能观测规范形：多输入多输出 4.8 连续时间线性时不变系统的结构分解

4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据格拉姆矩阵判据秩判据>PBH判据约当规范形判据能控性指数

4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据 Ø 格拉姆矩阵判据 Ø 秩判据 Ø PBH判据 Ø 约当规范形判据 Ø 能控性指数

格拉姆矩阵判据考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为x=Ax+Bu, x(O)=x t≥0x为n维状态向量，u为p维输入向量，A和B分别为nxn和nxp常阵结论4.1[能控性格拉姆判据]连续时间线性时不变系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t,>0，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。W.[0,]=[" e*"BBTe-i dt

Ø格拉姆矩阵判据

证：1).充分性对任意x≠0，因为W[0,t,]可逆，可构造u(t) = -B'e-A'iW.-'[0,t,]xo'te[0, t]在u(t)作用下，x(t)在t,时刻为：x(t)=e4xo + ["eA(t-t)Bu(t)dtL= e4hxo -e4h('e-4rBBe-A'tdt)W-'[0,t ]xo= eAi x -eAtW.[0,t,].W。-"[0,t ]x= e4i xo -eA xo = 0.由定义，系统完全能控

证：1).充分性 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) { } [0, ] [0, ] [0, ] 0. T t At A t t At At A T A c At At c c At At u t x t t x t e x e Bu d e x e e BB e d W t x e x e W t W t x e x e x                        在 作用下， 在 时刻为： 由定义，系统完全能控。 0 1 1 1 0 1 0 [0, ] ( ) - [0, ] [0 ] T c T A t c x W t u t B e W t x t t      对任意 ，因为 可逆，可构造 ，

2）必要性：反证法假设W[O,tl奇异（任意时刻t），则存在x。≠0eR"，使得：x,W,[0,t,]x= 0. =O=xW.[0,t]x=f' xfe-4"BBTe-A'i xodt=f'[B'e-A'i x0]'[B'e-A'i x0 dt =['ll B"e--'t x0 I’dt= Be-4ix = 0另一方面，系统完全能控，对上述x.存在控制u(t)和时刻t使得 eA(t-) Bu(t)dt = 0 =x(t)= eAt xo +e-At Bu(t)dtxo=

2) 必要性：反证法 1 1 0 0 1 0 [0, ] 0 [0, ] 0. n c T c W t t x R x W t x     假设 奇异（任意时刻 ），则存在 ， 使得： 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0= [0, ] = = [ ] [ ] = || || 0 T T T T T t T T At T A t c t t T A t T T A t T A t T A t x W t x x e BB e x dt B e x B e x dt B e x dt B e x            1 1 1 1 0 1 ( ) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) t At A t t t At x u t t x t e x e Bu t dt x e Bu t dt           另一方面，系统完全能控，对上述 存在控制 和时刻 ， 使得