映射与扩张 映射f:X→Y 集合A的特征函数: ,x∈A; 取大运算, x4(x) 如2V3=3 0, xeA 特征函数满足: XaB(x)=xa(xvxB(x) XanB(x)=xA(x)xB(x) x(x)=1-x(x) 取大运算, 扩张:点集映射集合变换 如2∧3=2
映射与扩张 映射 f ： X →Y 集合A的特征函数： 特征函数满足： = 0, . 1, ; ( ) x A x A x A ( ) 1 ( ). ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); x x x x x x x x A A A B A B A B A B c = − = = 取大运算, 如2∨3 = 3 取大运算, 如2∧3 = 2 扩张：点集映射 集合变换
二元关系 XxY的子集R称为从X到Y的二元关系, 特别地,当X=Y时,称之为X上的二元关系 二元关系简称为关系 若(x,y)∈R,则称x与p有关系,记为 R(x,y)=1; 若(x,y)∈R,则称x与p没有关系,记为 R(x,y)=0 映射 R:X×Y→>{0,1 实际上是X×Y的子集R上的特征函数
二元关系 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y →{0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数
关系的三大特性: 设R为X上的关系 (1)自反性:若X上的任何元素都与自己有 关系R,即R(x,x)=1,则称关系R具有自反性; (2)对称性:对于X上的任意两个元素x,y, 若x与y有关系R时,则y与x也有关系R,即 若R(x,y)=1,则R(y,x)=1,那么称关系R具 有对称性; (3)传递性:对于X上的任意三个元素x,y,z, 若x与y有关系R,y与z也有关系R时,则x与z 也有关系R,即若R(x,y)=1,R(y,z)=1,则 R(x,x)=1,那么称关系R具有传递性
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性
关系的矩阵表示法 设X={x1,x2,…,xm}F={yy2,…,ym},R 为从X到Y的二元关系,记 R(x1,y;),R=(ri) jm×n 则R为布尔矩阵( Boole),称为R的关系矩阵. 布尔矩阵( Boole)是元素只取0或1的矩阵 关系的合成 设R1是X到Y的关系R2是F到Z的关系, 则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系 (R1°R2)(x,)=∨{R1(x,y)∧R2(,列川y∈
关系的矩阵表示法 设X = {x1 , x2 , … , xm },Y={ y1 , y2 , … , yn }，R 为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 °R2 ) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法 设X={x1,x2, Y={y1,y2 {z1,z2,…,zn},且X到y的关系 R1=(a1) Y到Z的关系 R2=(b)× 则X到Z的关系可表示为矩阵的合成: R1°R2=(cr)mx 其中c;=V{(a1Ab)|1≤k≤ 定义:若R为n阶方阵,定义 R2=R°R,R3=R2°R
关系合成的矩阵表示法 设 X = {x1 , x2 , … , xm }, Y = { y1 , y2 , … , ys }, Z = {z1 , z2 , … , zn }，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj) s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 °R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为n 阶方阵，定义 R 2 = R °R，R 3 = R 2 °R …