长春大学：《高等数学》课程教学资源（授课教案）线性代数教案（任课教师：朱天晓）

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容性质2互换行列式的任意两行（列），行列式变号，由三阶行列式互换i,j两行（列）记为r台r(c,台c,)归纳总结性质推论若行列式中有两行（列)元素完全相同，则行列式为零性质3行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式.第i行(列)乘以数k，记为kr(kc.)推论行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面.性质4行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零性质5若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两个行列式的.例如第；行的各元素都是两数之和，性质6把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。（用数k乘第i行（列）加性质6重点讲解，经常使用到第j行（列）上，记作kr+r,(c,+c)性质7行列式D等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即D=aA+ai2A2++amA(i=1,2,",n)或D=a,A4, + a2,A, ++amA,(j =1,2,",n)这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下推论行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即anA,n+aiz24,2++anAm=0(i+j）或ayA,+az,A2, +..+amA,=0(i+ i)31-12[2 3 -4]1-53-1 00例计算D==18计算D=1202030612-53[211入例已知行列式D==0，求元的值.得=1或=-2.[116页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 性质 2 互换行列式的任意两行（列），行列式变号， 互换 i, j 两行（列）记为 ( ) i j i j r  r c  c . 推论 若行列式中有两行(列)元素完全相同，则行列式为零. 性质 3 行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘 以此行列式.第 i 行(列)乘以数 k ，记为 ( ) i i kr kc 推论 行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面. 性质 4 行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零. 性质 5 若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式 可表示为两个行列式的.例如第 i 行的各元素都是两数之和， 性质 6 把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数 k 加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.（用数 k 乘第 i 行（列）加 到第 j 行（列）上，记作 ) i j i j kr + r（c + c 性质 7 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子 式乘积之和，即 ( 1,2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin i =  n 或 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j +  + anjAnj j =  n 这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下 推论 行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 . 即 0 (i j) ai1Aj1 + ai2Aj2 ++ ai nAj n =  或 0 (i j) a1i A1 j + a2i A2 j +  + aniAnj =  例 计算 3 0 6 1 0 0 2 3 4 − − D = =18 计算 1 5 3 2 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − D = =120 例 已知行列式 0 1 1 1 1 1 1 = =    D ，求  的值. 得  =1 或  = −2. 由 三 阶 行 列 式 归纳总结性质 性 质 6 重点讲 解 , 经常使用

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第三节克莱姆法则含有n个未知量n个方程的线性方程组a+a2x+..+amx,=ba2ix,+a22x2+..+anx,=b(1).-anixj+an2X2+..+ammXn=b,定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即anai2aina21a22azn...D:±0anta.an2...则方程组（1）有唯一解D.3=D.D.注意该法则使(2)x,=,x=DDD用的范围其中D,(j=1,2,…,n)是用b,bzb,代替D中第j列所得到的n阶行列式，[2x -x2 +2x =1例用克莱姆法则求线性方程组3x,+4xz-x=0的解x +2x2 -3x =4D_3819D4623D,405X, =号，-2号，-24-12Dau +a2X2+...+anx,=0a21x+a22X2+...+a2mx,=0(4)线性方程组[amx,+a2x,+..+amx,=0叫做齐次线性方程组.显然，xX,=xz=…=x，=0是方程组（4）的解，称这个解为齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组（4）的一个解中x，x2，，x不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零解.7页第

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 第三节 克莱姆法则 含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组        + ++ =     + ++ = + ++ = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 0 . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 =  n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1）有唯一解 D D x 1 1 = ， D D x 2 2 = ，.， D D x n n = （2） 其中 D ( j 1,2, ,n) j =  是用 b b bn , ,  1 2 代替 D 中第 j 列所得到的 n 阶行列式， 例 用克莱姆法则求线性方程组      + − = + − = − + = 2 3 4 3 4 0 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的解 12 19 24 1 38 1 = = = D D x ， 3 5 24 2 40 2 = = − = − D D x ， 12 23 24 3 46 3 = = − = − D D x 线性方程组        + ++ =     + ++ = + ++ = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （4） 叫做齐次线性方程组.显然， x1 = x2 =  = xn = 0 是方程组（4）的解，称这 个解为齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有 零解.如果方程组（4）的一个解中 n x，x ，，x 1 2 不全为零，则称该解为齐 次线性方程组（4）的非零解. 注 意 该 法 则 使 用的范围

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第二章矩阵教学基本要求：（1）理解矩阵的概念。（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵、以及它们的性质。（3）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。（4）了解方阵的幂与方阵的行列式。（5）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件。（6）了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。（7）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念。（8）理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。重点：矩阵的乘法；逆矩阵；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。难点：矩阵运算性质的综合运用。矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法第一节矩阵的概念一、矩阵的定义定义由mxn个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,n)排列m行n列的矩形表aua2an矩阵是一个数a21a22..a2nA:表，行列式是一个数值(amlam2amm叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵.其中a,叫做矩阵A的第i行第j列元素.为了方便（1）式也简记为A=（a）mm或Amn，用字母A、B、C等表示.二、常见的特殊矩阵所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为0m或0.(a在定义中当n=1时，A=(a,）mx叫做列矩阵am第8页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 第二章 矩阵 教学基本要求： （1）理解矩阵的概念。 （2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵、以及 它们的性质。 （3）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。 （4）了解方阵的幂与方阵的行列式。 （5）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要 条件。 （6）了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 （7）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念。 （8）理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 重点:矩阵的乘法;逆矩阵;矩阵可逆的充分必要条件;矩阵的秩;用初等 变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 难点：矩阵运算性质的综合运用。 矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性 方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的 秩及其求法. 第一节 矩阵的概念 一、矩阵的定义 定义 由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) ij =  =  排列 m 行 n 列的矩形表               = m m mn n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元 素.为了方便（1）式也简记为 A = aij mn ( ) 或 Amn ，用字母 A、B、C 等表示. 二、常见的特殊矩阵 所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为 0mn 或 0. 在定义中 当 n =1 时，               =  = 1 21 11 1 ( ) m ij m a a a A a  ，叫做列矩阵. 矩 阵 是 一 个 数 表 , 行列式是一 个数值

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容当m=1时，A=(a,）m=(aai2…an）叫做行矩阵.当m=n时，A=(a,）叫做n阶方阵.(a00auai2.ar 00a21a22.a22a21形如A=或B=0(anlamnan2a.的n阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵主对角线以外的元素都为零的n阶方阵，(an)0000a22.A=叫做n阶对角形矩阵00an主对角线上元素都是1的n阶对角形矩阵(10..0)001E=叫做n阶单位矩阵.00..1若两个矩阵A.B行数相等，列数也相等，则称矩阵A与B是同型矩阵.对同型矩阵A=(ag)mm,B=(b,）mn，若a,=b,(i=1,2,…,m,j=1,2,n)只有同型矩阵才有可能相等则称矩阵A与B相等，记做A=B第二节矩阵的运算一、矩阵的线性运算及其性质定义1设同型矩阵A=(a）mm,B=(b,)mn，则规定A与B的和为(au+b）mn，记做A+B，即只有同型矩阵a+bai2+bi2.ain+bn才能相加，且对a2i+b2a22+b2.a2m+bamA+B=应元素相加aml+bmlam2+bm2a..+b...9页P

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 当 m =1 时， ( ) ( ) A = aij 1n = a11 a12  a1n 叫做行矩阵. 当 m = n 时， A = aij nn ( ) 叫做 n 阶方阵. 形如               = an an ann a a a A . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 或               = nn n n a a a a a a B 0 . . . . . 0 . . 22 2 11 12 1  的 n 阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵. 主对角线以外的元素都为零的 n 阶方阵，               = ann a a A 0 0 . . . . . 0 . 0 0 . 0 22 11 ，叫做 n 阶对角形矩阵. 主对角线上元素都是 1 的 n 阶对角形矩阵               = 0 0 . 1 . . . . 0 1 . 0 1 0 . 0 E ，叫做 n 阶单位矩阵. 若两个矩阵 A,B 行数相等，列数也相等，则称矩阵 A 与 B 是同型矩阵. 对同型矩阵 A = aij mn B = bij mn ( ) , ( ) ，若 aij = bij (i =1,2,  ,m; j =1,2, n) 则称矩阵 A 与 B 相等，记做 A = B 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的线性运算及其性质 定义 1 设同型 矩阵 A = aij mn B = bij mn ( ) , ( ) ，则规定 A 与 B 的和为 ( ) , aij + bij mn 记做 A + B ，即               + + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B . . . . . . . 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 只有同型 矩 阵 才有可能相等 只 有 同 型 矩 阵 才能相加 , 且 对 应元素相加