冷设F(a)…(n)表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域,它是否为代数扩域? 定理:设E为F上的有限扩域,则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元 即找根为a的多项式∈F[x]
❖ 设F(1 )…(n )表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域，它是否为代数扩域？ ❖ 定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元. 即找根为a的多项式F[x]
代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限设为n 冷f(x)=xn+1+2x+2∈Q[×不可约 冷设a为f(x)的根,则1,ax,2,…,线性无关, 冷所以[E:Q]n+1,矛盾
❖ 代数扩域不一定是有限扩域。 ❖ E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限,设为n. ❖ f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约 ❖ 设为f(x)的根,则1,,2 ,n线性无关, ❖ 所以[E:Q]n+1,矛盾
三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)∈F[x,degf(x)=n≥1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积 (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式x)在上的捉域,或简 称域
三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简 称根域
例:f(x)是F上的二次多项式, f(x)=ax2+bx+c(0≠a∈F)2H1、2为fx)的二 个根 N=F(L1 f(x)在F上可约,N=F
例：f(x)是F上的二次多项式， f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二 个根. N=F(1 ). f(x)在F上可约，N=F