复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_05/29

陪集 例:三次对称群S3={e,o1,2,3,o4o5} 的所有非平凡子群是: H={e,o};H2={e,o2};H3={e,o3} H4={e,o4o5}。其中H就是三次交代群 A3。现在考察H的陪集

▪ 陪集 ▪ 例：三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 的所有非平凡子群是: ▪ H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中H4就是三次交代群 A3。现在考察H1的陪集

eH1=o1H1=H1;σ2H1=5H1={2o5} 3H1=4H1={o3,o4H;H1e=H1o1=H H1o2=H1o4={o2,o4};H1o3=H1o5={3,o5} 显然G2H1≠H1①2,05出H1件H105,03H1≠H1o3, O,+ 这说明左、右陪集一般不等

e H1=1H1=H1 ; 2H1=5H1={2 , 5 } 3H1=4H1={3 , 4 };H1e =H11=H H12=H14={2 , 4 };H13=H15={3 , 5 } 显然2H1H12 , 5H1H15 , 3H1H13 , 4H1H14 ▪ 这说明左、右陪集一般不等

引理131:如果HG是子群那么任 g∈G所构成的陪集gH=H,|Hg|=|H| 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射 证明:定义映射φ:H→Hg, cp(h)=h*g 利用群消去律证明是一对一的 而满射是显然的因为对任意的h*g∈Hg,有 op(h)=h*g

▪ 引理13.1：如果HG是子群,那么任一 gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射. 证明:定义映射:H→Hg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有 (h)=hg

引理132:H为G的子群g1292∈G,两个右 陪集Hg1与Hg2则:或HgHg2,或 Hg,nHg2=。 证明利用等价类的性质 例:设[H;*是群[G;*的子群,则 (1)若b∈aH,则bH=aH (2)若b∈Ha,则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

▪ 引理13.2：H为G的子群,g1 ,g2G,两个右 陪集Hg1与Hg2 ,则: 或Hg1=Hg2 ,或 Hg1∩Hg2=。 ▪ 证明:利用等价类的性质. ▪ 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

三、拉格朗日定理 定理:G是群H是G的子群则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等 证明:设S和T分别为G的关于H的所有右 和左陪集的集合。现在要证明的是 S|=|T。考虑证明存在S→T的双射 定义1314:H为G的子群关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+]是[z;+]的子群,E在Z中指数?

三、拉格朗日定理 ▪ 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右 和 左 陪 集 的 集 合 。 现 在 要 证 明 的 是 |S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。 ▪ 定义13.14：H为G的子群,关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 ▪ [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？