定理1417:F×为域F上的多项式环,商环 FIx](p(x)是域,当且仅当p(x)为F[×]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环Fx](p(x)是域证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x),gx)∈F(x),且 0<degh(x), degg(x<degp(x) 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x)2g(x)(p(x),即 (p(x)+h(x)和(p(x)+g(x)都不是F[x(p(x)的 零元但 (p(x)+h(x)∞(p(×)+g(x)=(p(x)+h(x)g(x) =(p(x)+p(x)=(p(x)为F[x](p(x)的零元 而F[×/(p(x)是域,无零因子
❖ 定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环 F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且 0<degh(x),degg(x)<degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的 零元.但 ((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子
(2)p(x)为F[上的不可约多项式证明 商环FXx](P(x)是域 首先可以知道F[x](p(x)是交换环且有单 位元(p(x)+1 关键是考虑F[×](p(x)中每个非零元是否 都存在逆元 对F[x(p(x)中任意非零元(p(x)+r(x),其 中degr(x)<degp(x) 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x)a∈F 由定理149(2)存在s(x),t(x)eF(x),使得 p(xs(x)+r(x)t(x=a 因此(p(x)+a1(x)是(p(x)+r(x)的逆元 推论144zD=z(p)为域当且仅当p为素数
(2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明 商环F[x]/(p(x))是域 首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单 位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否 都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其 中degr(x)<degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=aF*. 由定理14.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1 t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 ❖ 推论14.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数
冷例讨论商环23](x41)是否为域。 冷x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2) 冷所以23x](x4+1)不是域
❖ 例:讨论商环Z3 [x]/(x4+1)是否为域。 ❖ x 4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2), ❖ 所以Z3 [x]/(x4+1)不是域
Z3x](x2+1) 冷x2+1在23上不可约, 冷23[x(x2+1)为域 今Z3[(x2+1)={ax+ba,b∈Z3 共有9个元素 冷省略了(x2+1) 常以这种简化的方式写商域中的元素 各非零元素的逆。 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
❖ Z3 [x]/(x2+1) ❖ x 2+1在Z3上不可约, ❖ Z3 [x]/(x2+1)为域 ❖ Z3 [x]/(x2+1) ={ax+b|a,bZ3 } ❖ 共有9个元素 ❖ 省略了(x2+1)。 ❖ 常以这种简化的方式写商域中的元素 ❖ 各非零元素的逆。 ❖ 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
x8+x4+x3+x+1是z2上的不可约多项式。 冷22[×](x8+x4+x3+X+1)是域。 X6+X4+x2+x+1,x7+X+1∈Z2[×(x8+x4+x3+x+1) 冷(x6+X4+x2+x+1)(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+X6+1 (x6+X4+x2+x+1)∈Z2[×](x8+x4+x3+X+1) 其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1 冷方法:利用1=s(×)f(x)+(x)g(x) 即1=s(x)(X6+X4+x2+X+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) 冷实质是求s(x) 利用辗转相除法
❖ x 8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。 ❖ Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。 ❖ x 6+x4+x2+x+1,x7+x+1Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ (x6+x4+x2+x+1)•(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+x6+1 ❖ (x6+x4+x2+x+1)Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ 其逆元是x 7+x5+x4+x3+x2+x+1 ❖ 方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x) ❖ 即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) ❖ 实质是求s(x) ❖ 利用辗转相除法