复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_17/29

一、基本概念 1代数系统 运算,Sn→S的映射称为S上的n元运算 代数系统:一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1…,Q(K≥1),就构成 了一个代数系统,表示为[s;Q1,Q 单位元,结合律,交换律,逆元,零元, 分配律 同态,同构

❖ 一、基本概念 ❖ 1.代数系统 ❖ 运算， Sn→S的映射称为S上的n元运算 ❖ 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1 ,…,Qk (k1),就构成 了一个代数系统, 表示为 [S;Q1 ,…,Qk ]。 ❖ 单位元，结合律，交换律，逆元，零元， 分配律 ❖ 同态，同构

2相容 冷设“~”为S上的等价关系,“*”为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,d∈S,当 a~b,c~时,必有a*C~b*d,则称等价 关系~与运算*是相容的,称~为代数系 统[s;*的相容等价关系。 3半群,拟群,群 有关定理 4元素的阶和群的阶 定义,结论

❖ 2.相容 ❖ 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当 a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价 关系~与运算 是相容的，称~为代数系 统[S;]的相容等价关系。 ❖ 3.半群，拟群，群 ❖ 有关定理 ❖ 4.元素的阶和群的阶 ❖ 定义,结论

5子群与陪集 冷概念,定理,陪集的实质 6商群与群同态基本定理 7环的基本概念 环的零元环的单位元交换环 在环中讨论元素可逆 1u=(1-)(1++u2+,+U1 ÷8特征数 整环的特征数9子环,理想,商环 9主理想,主理想环 10多项式环

❖ 5.子群与陪集 ❖ 概念,定理,陪集的实质 ❖ 6.商群与群同态基本定理 ❖ 7.环的基本概念 ❖ 环的零元,环的单位元,交换环 ❖ 在环中讨论元素可逆 ❖ 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1 ) ❖ 8.特征数 ❖ 整环的特征数9.子环，理想，商环 ❖ 9.主理想,主理想环 ❖ 10.多项式环

11扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12代数元与代数扩域 极小多项式 13根域 冷根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域,形式微商 15本原元与本原多项式

❖ 11.扩域与单扩域 ❖ 线性空间与域的关系 ❖ 素域 ❖ 12.代数元与代数扩域 ❖ 极小多项式 ❖ 13.根域 ❖ 根域的存在性与唯一性(同构意义下) ❖ 14.有限域，形式微商 ❖ 15.本原元与本原多项式

、证明及判别、计算 1群 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用特别是补充证明的 些结论。 冷子群,正规子群的验证和证明 冷设~是群G上的等价关系并且对于G的任意三个元素 a,x,x2若ax~ax:则必有x~x。证明:与G中单位 元等价的元素全体构成G的一个子群 冷H={x∈G|X~e 对任意的x∈H,xe=x~e=xx1,因此有 x1,所以x1∈H 冷对任意的xy∈H,有x~e,y~e, 即x1xy=ey~e=x1x,因此有xy~x~e, 冷所以xy∈H 用群同态基本定理证明群同构

❖ 二、证明及判别、计算 ❖ 1.群 ❖ 元素阶与群的阶 ❖ 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的 一些结论。 ❖ 子群，正规子群的验证和证明 ❖ 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素 a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位 元等价的元素全体构成G的一个子群。 ❖ H={xG|xe} ❖ 对任意的xH，xe=xe=xx-1 ，因此有 ❖ ex -1 ，所以x -1H， ❖ 对任意的x,yH，有xe，ye， ❖ 即x -1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， ❖ 所以xyH ❖ 用群同态基本定理证明群同构