§4理想与商环 一、理想 定义1413:R;+,为环,若I≠,∈R关于+ 运算满足条件: (1)任a,b∈I,a-b∈I (2)任a∈,r∈Rar,ra∈I 称[;+为|R;+,的理想,当≠0},R时是真 理想否则就是平凡理想
§4 理想与商环 ▪ 一、理想 ▪ 定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,* 运算满足条件: ▪ (1)任a,bI,a-bI ▪ (2)任aI,rR,a*r,r*aI ▪ 称[I;+,*]为[R;+,*]的理想,当I{0},IR时是真 理想,否则就是平凡理想
例:[nZ;+,×是整数环[Z;+,x的理想。 例:[R;+,为单位元交换环,任取元素 a∈R,作R的子集:(a)={a*rreR},则 I(a);+,为R;计+,的理想 若[R;+,是不含单位元的交换环,对任 意a∈R,作子集(a)={a*rnar∈R,n∈Z} 则[(a);+,为[R;+,的理想。 这样的理想a)={ a*r+nar∈R,n∈公称为 由元素a生成的主理想
▪ 例：[nZ;+,]是整数环[Z;+,]的理想。 ▪ 例：[R;+,*]为单位元交换环，任取元素 aR ， 作 R的 子 集 ： (a)={a*r|rR}, 则 [(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 ▪ 若[R;+,*]是不含单位元的交换环，对任 意aR，作子集(a)={a*r+na|rR,nZ}, 则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 ▪ 这样的理想 (a)={a*r+na|rR,nZ}称为 由元素a生成的主理想
由a生成的理想: 有单位元的交换环,(a)={arr∈R} 无单位元的交换环,(a)={a*rnar∈R} 定理:设S≠,S∈R,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: (1)a∈S,则a∈(S) (2)a,b∈(S),则a-b∈(S) (3)a∈(S),r∈R,则a*r,r*a∈(S) 则[(S);+,是环[R;+,的理想。 定义:设S≠S∈R,S为满足上述定理条件的 最小子集,则称I(S);+,是环R;+,的由S生成 的理想
▪ 由a生成的理想： 有单位元的交换环，(a)={a*r|rR} 无单位元的交换环，(a)={a*r+na|rR} ▪ 定理：设S,SR,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: ▪ (1)aS,则a(S) ▪ (2)a,b(S),则a-b(S) ▪ (3)a(S),rR,则a*r,r*a(S) ▪ 则[(S);+,*]是环[R;+,*]的理想。 ▪ 定义：设S,SR,(S)为满足上述定理条件的 最小子集,则称 [(S);+,*]是环[R;+,*]的由S生成 的理想
定义1414:环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想,则称该环为主理想环 例:[Z;+,是主理想环。 分析:关键是证明对任意理想D都能找到 生成元 证明若D={0}成立 若D≠{0},则设法找生成元 取D中绝对值最小的非零元b, 证明b是D的生成元
▪ 定义14.14:由环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想，则称该环为主理想环 ▪ 例：[Z;+,*]是主理想环。 ▪ 分析:关键是证明对任意理想D,都能找到 生成元. ▪ 证明:若D={0},成立. ▪ 若D{0},则设法找生成元. ▪ 取D中绝对值最小的非零元b, ▪ 证明b是D的生成元
定理1413:域F上的多项式环Fx是主理 想环。 分析:与前面证明方法类似 证明若I={0}成立 对于I≠{0}的理想其生成元是什么呢? 对多项式则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x) 这样就要证明对任一理想可表示成 {p(x)f(x)|x)∈FKxl,p(x)为该理想中次数最 的} 需要利用定理148 定理148:对f(x)∈F|x,g(x)∈F|xl,g(x)≠0,存在唯 的q(x)r(x)∈FKxl,degr(x)<degg(x)或r(x)=0使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)
▪ 定理14.13：域F上的多项式环F[x]是主理 想环。 ▪ 分析:与前面证明方法类似. ▪ 证明:若I={0},成立 ▪ 对于I{0}的理想,其生成元是什么呢? ▪ 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x). ▪ 这样就要证明对任一理想,可表示成 ▪ {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最 小的}. 需要利用定理14.8 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一 的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)