引理15.5:[G;*为交换群,a∈G是其中阶最大 元,设其阶为n则任一x∈G的阶可整除n 定理15.16:GF(p)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素,其阶为p-1。 找元素,阶最大的
引理15.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大 元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。 定理15.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素，其阶为p m－1。 找元素，阶最大的
定义15.10:循环群GF(p);之生成元称 为有限域GF(p)的本原元。 β∈GF(pP)是本原元,则GF(p)中元素 可表示为: GF(p)={0,80=1,B,B2,,Bp2 例:找出GF(32)的所有本原元 不可约多项式x2+1 α+1,a+2,2a+1,2a+2都是本原元
定义15.10:循环群[GF(pm) * ;*]之生成元称 为有限域GF(pm)的本原元。 GF((pm))是本原元, 则GF((pm))中元素 可表示为: GF((pm))={0, 0=1,, 2 ,, pm-2 } 例:找出GF(32 )的所有本原元。 不可约多项式x 2+1 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元
a+1是本原元,则其他元素2,a,a+2,2a, 2a+1,2a+2怎样表示成a+1的幂次? 二、本原多项式 定义151:设g(x)∈Znx是m次不可约多 项式当k=p-1时g(x)(xk1),当kpm1时 g(x)不能整除(xk1,称g(x)为Z上的本原 多项式
+1是本原元,则其他元素2,, +2,2, 2+1,2+2怎样表示成+1的幂次? 二、本原多项式 定义15.11:设g(x)Zp [x]是m次不可约多 项式,当k=pm-1时g(x)|(xk-1),当k<pm-1时 g(x)不能整除(x k-1),称g(x)为Zp上的本原 多项式
定理1517:g(x)∈Zx是不可约的m次多 项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所 有根x都是Znx/(g(x)=GF(p)的本原元。 (1)g(x)是不可约的m次多项式,所有根都是 Z2lx(g(x)=GF()的本原元则是本原多项 式 (g(x)x是g(x)的根则阶为p1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与x-1有公共零点 习题15.16:f(x)不可约,fx)与g(x)有公共零点,则 f(x)lg(x)
定理15.17:g(x)Zp [x]是不可约的m次多 项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所 有根x都是Zp [x]/(g(x))=GF(pm)的本原元。 ( 1 ) g(x)是不可约的 m次多项式 , 所有根都是 Zp [x]/(g(x))=GF(pm)的本原元,则是本原多项 式 (g(x))+x是g(x)的根,则阶为p m-1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与x t -1有公共零点 习题15.16:f(x)不可约,f(x)与g(x)有公共零点,则 f(x)|g(x)
例:GF(2)≌Z2x]/(x2+x+1),证明x2+x+1是 Z2上的本原多项式。 设α是Z2x上的多项式(x2+x+1)的根,请 将下式化简为的幂次 (a2+a)*(a2+1)1+a-2+o 例:GF(24)≌Z2x]/(x4x+1),证明x4x+1是 Z2上的本原多项式
例:GF(2 2 )≌Z2 [x]/(x2+x+1),证明x 2+x+1是 Z2上的本原多项式。 设是Z2 [x]上的多项式( x 2+x+1)的根,请 将下式化简为的幂次。 (2+)*(2+1)-1+-2+ 例:GF(2 4 )≌Z2 [x]/(x4+x+1),证明x 4+x+1是 Z2上的本原多项式