二、素域 定义154:一个没有真子域的域称为素域。 设p为素数则Z是素域 域F的特征数 定理145任何整环的特征数或为素数或 为0。 域是整环其特征数或为0或为素数
▪ 二、素域 ▪ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ▪ 设p为素数,则Zp是素域. ▪ 域F的特征数 ▪ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或 为0。 ▪ 域是整环,其特征数或为0或为素数
定理154:设[F;+,为域,则[F;+中的非零 元同阶。 证明设F的单位元为e n1特征数非零设 charF=p,则p是素数 因此对任意a∈F,有pa=0,且p是使la=0的最 小正整数 (定理14:设p为有单位元环R的特征数,则 )任a∈R有pa=0,而且,当R是整环时,对任何a≠0,p是使 pa=0的最小正整数 2特征数为零,则F的单位元e关于+的阶无限 对任意a∈F,要证明的阶也是无限
▪ 定理15.4：设[F;+,*]为域,则[F;+]中的非零 元同阶。 ▪ 证明:设F的单位元为e ▪ 1.特征数非零,设charF=p,则p是素数. ▪ 因此对任意aF* ,有pa=0,且p是使la=0的最 小正整数. (定理14.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使 pa=0的最小正整数) 2.特征数为零,则F的单位元e关于+的阶无限 对任意aF* ,要证明a的阶也是无限
现在考虑域F与它的扩域K,它们的特征数 有何联系 注意到K和F的单位元是同一个e, 由定理154,在K中e的阶是 charK, 在F中e的阶是 charF, 因此 chark= charF 推论15.1:当K为F的扩域时, charK char F
▪ 现在考虑域F与它的扩域K,它们的特征数 有何联系. ▪ 注意到K和F的单位元是同一个e, ▪ 由定理15.4,在K中e的阶是charK, ▪ 在F中e的阶是charF, ▪ 因此charK= charF ▪ 推论1 5 .1：当K为F的扩域时, charK= charF
定理155:F为域,则必包含一个素子域△ 且 (1) charF=0时,△≌Q (2) charF=p时,△≌Z 证明:(1) charF=0 构造集合A={(ne)me)lm,n∈Z,m≠0 因为(ne)(me)l∈F因此△cF 下面证明△是域且无真子域 (2) charF=p,构造集合△={0,e,…,(p-1)e} 显然△cF. 同样要证明△是域且无真子域
▪ 定理15.5：F为域,则必包含一个素子域, 且: ▪ (1)charF=0时, ≌Q ▪ (2)charF=p时, ≌Zp ▪ 证明:(1) charF=0 ▪ 构造集合={(ne)*(me)-1 |m,nZ,m0} ▪ 因为(ne)*(me)-1F,因此F. ▪ 下面证明是域,且无真子域. ▪ (2) charF=p ,构造集合={0,e,,(p-1)e} ▪ 显然F. ▪ 同样要证明是域,且无真子域
§2代数元与根域 代数元与超越元 1.代数元与超越元 定义155:K为域F的扩域,∈K如果有 x)∈F[]使得/(x)=0,则称a为域F的代数 元否则就是F的超越元。 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5,√3,17+3都是有理数域上的代
§2 代数元与根域 ▪ 一、代数元与超越元 ▪ 1.代数元与超越元 ▪ 定义15.5：K为域F的扩域,K,如果有 f(x)F[x]使得f()=0,则称为域F的代数 元,否则就是F的超越元。 ▪ 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5, 3,i, 7 3都是有理数域上的代数元 . n +