复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_06/29

五、商群 设[H;是群[G;*的子群,对任意ab∈G,a 和b关于模H同余当且仅当a*b1∈H,记为 a=b(mod H) [a]={xx∈G,且Xa(modH)}={xx∈G,且x*a1 ∈H},Ha=[a]={h*ah∈H 设“~”为.S上的等价关系,“”为S上的二 元运算。 若对任意ab,c,deS,当ab,C~d时,必有 a*C~b*d,则称等价关系~与运算*是相容的, 称~为代数系统[s;的相容等价关系

五 、商群 设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a 和b关于模H同余当且仅当 ab-1H，记为 ab(mod H)。 [a]={x|xG,且xa(mod H)}= {x|xG,且 xa -1 H}, Ha=[a]={ha|hH} 设“ ~ ”为S上的等价关系， “*” 为S上的二 元运算。 若对任意a,b,c,dS ，当a~b,c~d时，必有 ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的， 称~为代数系统[S;]的相容等价关系

[H1,为三次对称群[s3,上的子群, “~”为模H1同余关系 4 3 5 但σ2·3与σ4°σ5不是模H同余的 该等价关系关于运算●是不相容的 事实上主要是因为叫H1,不是正规子群

❖ [H1 ,•]为三次对称群[S3 ,•]上的子群, ❖ H1={e,1 }, ❖ “~”为模H1同余关系 ❖ 则2~ 4 , ❖ 3~ 5 , ❖ 但2 •3与4 •5不是模H1同余的 ❖ 该等价关系关于运算•是不相容的 ❖ 事实上主要是因为[H1 ,•]不是正规子群

今引理(一):叶H;是群G;*的正规子群,定 义关系~如下:对任意a,b∈G,a~b当且仅 当a*b1∈H。则“~关于*为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,deG若a-b c~d,必成立a*C~b*d就是要证明 (a*c)*(b*Q1∈H 应利用a*b1∈H和c*d1∈H 特别还要用到正规子群这个条件 定义1316:把“~”下的等价类全体构成的 集合,即子群H的所有右陪集全体构成的集 合,称为商集,记为GH

❖ 引理(一)：[H;]是群[G;]的正规子群，定 义关系~如下：对任意a,bG，a~b当且仅 当ab-1H。则“~”关于为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd) -1H 应利用ab-1H和cd-1H 特别还要用到正规子群这个条件 ❖ 定义13.16:把“ ~ ”下的等价类全体构成的 集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集 合，称为商集，记为G/H

在相容条件下,我们定义⑧如下: 对任意[g=Hg1[g2=Hg2∈GH, Hg1Hg2=H(g1米g2) 引理133:[H;*]是群[G;*的正规子群,则是 G/H上的运算。 对任意[a][]eS,[a△b]=[a*b],则由~关于*的相 容性,保证运算A的结果与等价类的选取无关。 引理134:[H;*是群[G;*的正规子群,则 [GH;⑧]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;*1则He=H∈GH为[GH;⑧] 的单位元 逆元:对任意Ha∈GH,有逆元Ha1∈GH

❖ 在相容条件下，我们定义如下： 对任意[g1 ]=Hg1 ,[g2 ]=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2 ) ❖ 引理13.3: [H;]是群[G;]的正规子群，则是 G/H上的运算。 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则由~关于的相 容性，保证运算的结果与等价类的选取无关。 ❖ 引理13.4：[H;]是群[G;]的正规子群，则 [G/H;]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;],则He=HG/H为 [G/H;] 的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H

关于H的商群 定义1317:[G*为群[H;*为其正规子群 G/H为G关于H的商集合,⑧为GH上关于 陪集的运算则[G/H;]是群称为G关于 H的商群。 在G是有限阶的群时,GH的阶必有限,且 等于正规子群H在G中的指数,即|GH

❖ 关于H的商群 ❖ 定义13.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于 陪集的运算, 则 [G/H;]是群,称为G关于 H的商群。 ❖ 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且 等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|