三、循环群 1.元素的阶 定义1310:设G为群,e是G的单位元,对于 a∈G,如果存在最小正整数r,使得a′=e,则 称r为元素的阶;也可称a是阶元。若不存 在这样的r,则称a为无原阶元或说a的阶无 原 若元素a的阶有限,则存在k∈Z(k≠D),使mk=nl, 如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的阶 无限
三、循环群 1.元素的阶 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对于 aG, 如果存在最小正整数r，使得a r=e，则 称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存 在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无 限。 若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使a k=a l ， 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的阶 无限
定理13.12:G为群,a∈G,阶为n,则对 m∈Z,ame当且仅当nm。 定理():若G是有限群,则G中的每个 元素的阶都是有限的。 例:在有限群G中,阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证:G是群,对任意a∈G,当a的阶有 限时,a的阶与a-阶相同。 证明正整数p和q相等通常有两种方法 (1)p≤q,qsp,可推出p=q (2)若 plg, qlp,可推出p=q
定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, a m=e当且仅当n|m。 定理(一)：若G是有限群，则G中的每个 元素的阶都是有限的。 例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证：G是群，对任意aG，当a的阶有 限时，a的阶与a -1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q
例:设群G的元素a的阶是n,则a的阶 是m/d。其中d=(r,m)为r和n的最大公因子。 分析:要证a的阶是m/d,则要证: a n/d一 e
例：设群G的元素a的阶是n，则a r的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 分析：要证a r的阶是n/d,则要证： (ar ) n/d =e
2循环群 定义13.11:群G,若有a∈G,对任g∈G,存在 k∈Z,使得g=a,就说群G可以由元素a生成,是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当G的阶有限时,称它为有限循环程 否则称为无限循环群。 例对于群{1,-1,-i};×,1=1,-1=12,-=译, 即1,-1,i,i都可以由表示,是循环群;是生成元。 类似地,1=(-1)0,-1=(i)2,=(-i)3,是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中,4个元素,称为4阶循环群
2.循环群 定义13.11：群G,若有aG, 对任gG, 存在 kZ,使得 g=ak ,就说群G可以由元素a生成, 是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当 G的阶有限时, 称它为有限循环群; 否则称为无限循环群。 例:对于群[{1,-1,i.-i};],1=i0 ,-1=i2 ,-i=i3 , 即1,-1,i.-i都可以由i k表示,是循环群,i是生成元。 类似地，1=(-i)0 ,-1=(-i)2 ,i=(-i)3 ,-i是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中，4个元素，称为4阶循环群
例:对于群[;+1对任意k∈Z,k=k1(即1 即1是生成元,[Z;+是无限循环群,同样 1也是生成元。 例:设有限群G;阶为n,若存在元素 g∈G,它的阶也是n,则G;是由g生成 的循环群。 例:若a是无限循环群[G;的生成元 则a的阶无限
例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k 1(即1 k ) 即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样 -1也是生成元。 例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素 gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成 的循环群。 例：若a是无限循环群[G;*]的生成元， 则a的阶无限