11.2时间序列模型的分类对于自回归过程AR(p)，如果特征方程L)=0的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳的过程。为什么？AR(p）过程的特征多项式若满足上条件，可以分解为D(L) = 1- L-Φ L - ... -Φ,LP= (1-G L) (1-Gz L) ... (1-G, L)其中 Gi,G2，…,G,"是特征方程Φ(L)=0 的根。由AR(p)过程d(L)x,=ut，x,可表达为11k2k,X=2@(L) u, = (I-G,L)(1-G,L).(1-G,L)1-G,L1-G2L-G其中ki，k2，,k,是待定常数。xt具有平稳性的条件是Φ(L)必须收敛，即应有IGil<1,i=1,2,……,p。而Gi,i=1,2,…,p是特征方程dΦ(L)=0的根,所以保证AR(p过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为1)之外，即「1/G1>1。保证AR(p）过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小PZd;<1于1，即（第4版263页）i=1
（第4版263页） 11.2 时间序列模型的分类 对于自回归过程 AR(p)，如果特征方程(L) = 0 的所有根的绝对值都大于 1，则该 过程是一个平稳的过程。 为什么？AR(p) 过程的特征多项式若满足上条件，可以分解为 (L) = 1-1 L-2 L 2 - . -p L p = (1-G1 L) (1-G2 L) . (1-Gp L) 其中 G1 -1 , G2 -1 , . , Gp -1 是特征方程(L)=0 的根。由 AR(p) 过程(L) xt = ut，xt可表 达为 xt = t p t u G L G L G L u L (1 )(1 ).(1 ) 1 ( ) 1 − 1 − 2 − = = ( G L k G L k 1- 1- 2 2 1 1 + + . + ) 1- G L k p p ut 其中 k1, k 2, ., k p是待定常数。xt 具有平稳性的条件是 (L) -1 必须收敛，即应有 | Gi | < 1, i = 1, 2, ., p。而Gi -1 , i = 1, 2, ., p是特征方程 (L) = 0的根，所以保证AR(p) 过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为 1）之外，即 | 1/Gi | > 1。 保证 AR(p) 过程平稳的一个必要但不充分的条件是 p 个自回归系数之和要小 于 1，即 = p i i 1 <１
11.2时间序列模型的分类例11.1有AR(1)过程x,=0.6xt-1+ut，现改写为(1-0.6L)x,=ut1u,= (1 + 0.6 L + 0.36 L2 + 0.216 L3 + ...) utXt1-0.6L=ut+0.6ut-1+0.36ut-2+0.216ut-3+..平稳的AR(1）过程变换成为无限阶的移动平均过程。例 11.2 有 AR(2)模型 x,=0.6 xt-1 - 0.1 xt-2 + ut，即 (1 - 0.6 L +0.1 L)x,= ut。其特征方程是（1-0.6L+0.1L2）=0[1- (0.3 - 0.1 i) L [1- (0.3 + 0.1 i) L] = 01特征方程的两个根是，L1,L2=3于i。二0.3 ± 0.1i因为两个根都在单位圆之外，所以x是平稳的随机过程（第4版265页）
（第4版265页） 11.2 时间序列模型的分类 例 11.1 有 AR(1) 过程 xt = 0.6 xt-1 + ut，现改写为 (1 - 0.6 L ) xt = ut xt = 1 0.6L 1 − ut = (1 + 0.6 L + 0.36 L 2 + 0.216 L 3 + . ) ut = ut + 0.6 ut-1 + 0.36 ut-2 + 0.216 ut-3 + . 平稳的 AR(1) 过程变换成为无限阶的移动平均过程。 例 11.2 有 AR(2) 模型 xt = 0.6 xt-1 - 0.1 xt-2 + ut，即 (1 - 0.6 L + 0.1 L 2 ) xt = ut。其特 征方程是 (1 - 0.6 L + 0.1 L 2 ) = 0 [1- (0.3 - 0.1 i ) L ] [1- (0.3 + 0.1 i ) L ] = 0 特征方程的两个根是，L1, L2 = i i 3 0.3 0.1 1 = 。 因为两个根都在单位圆之外，所以 xt是平稳的随机过程
（第4版265页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达X, = ut + O1 ut-I + 02 ut-2 + ... + q ut-q其中1，2，…，是回归参数，ut为白噪声过程，则称为阶移动平均过程，记为MA()。因为x,是由u,和u,的q个滞后项的加权和构造而成，所以称其为移动平均过程。“移动”指随着时间t变化，“平均”指加权和之意。上式还可以用滞后算子写为，X,= (1+0L+02L*+... +0,L')ut 或 x, =@(L)u其中L)=(1+1L+2L+..+,L")，称为移动平均算子或移动平均特征多项式。由定义知任何一个9阶移动平均过程都是由9+1个白噪声变量的加权和组成所以任何一个有限阶移动平均过程都是平稳的过程
（第4版265页） 11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 如果一个线性随机过程可用下式表达 xt = ut + 1 ut -1 + 2 ut -2 + . + q ut - q 其中 1, 2, ., q是回归参数，ut为白噪声过程，则称为 q 阶移动平均过程，记为 MA(q)。因为 xt是由 ut和 ut的 q 个滞后项的加权和构造而成，所以称其为移动平 均过程。“移动”指随着时间 t 变化，“平均”指加权和之意。上式还可以用滞后算 子写为， xt = (1+ 1L+ 2 L 2 +. + q L q )ut 或 xt =(L)ut 其中(L) = (1 + 1 L + 2L 2 + . + qL q )，称为移动平均算子或移动平均特征多项 式。由定义知任何一个 q 阶移动平均过程都是由 q + 1 个白噪声变量的加权和组成， 所以任何一个有限阶移动平均过程都是平稳的过程
11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程MA()过程中最常见的是一阶移动平均过程MA(1)x, = (1 + 0L) u与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。MA(1）过程具有可逆性的条件是(1+,L)=0的根（绝对值）应大于1，即「1/0|>1或|9/<1。当「/<1时，MA（1）过程可以变换为1x,= (1-01L+01L-0L3+...)xut =1-0,L整理上式，X,= 01x-1 - 01xt-2 + 01xt3 +... +ut这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归过程。（第4版267页）
（第4版267页） 11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 MA(q) 过程中最常见的是一阶移动平均过程 MA(1)， xt = (1 + 1 L) ut 与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。MA(1) 过程具有可逆性的条件是 (1 + 1 L) = 0 的根（绝对值）应大于 1，即 | 1/ 1 | > 1 或 | 1 | < 1。当 | 1 | < 1 时， MA (1) 过程可以变换为 ut = 1 1 L 1 − xt = (1- 1 L+ 1 2 L 2 - 1 3 L 3 +.)xt 整理上式， xt = 1 xt-1 - 1 2 xt-2 + 1 3 xt-3 + . + ut 这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归过程
11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程对于 MA(1) 过程 E(x)=E(u) +E(Q, ut-1)=0Var(x) = Var(u) + Var(01 ut-) = (1 + 07) o?4000MA(1)D(M)3000200010000-1000-2000-3000-4000-500015020050100250300506570556075808590950005中国粮食产量差分序列MA(1)时间序列（第4版267页）
11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 对于 MA(1) 过程 E(xt ) = E(ut ) + E( 1 ut - 1 ) = 0 Var(xt ) = Var(ut ) + Var( 1 ut -1 ) = (1 + 1 2 ) u 2 -4 -2 0 2 4 5 0 100 150 200 250 300 MA(1) -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 D(Y) MA(1)时间序列 中国粮食产量差分序列 （第4版267页）