11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程不同参数的MA（1）一阶移动平均过程。5MA2 (theta=0.9)MA1 (theta=0.4)4.3322hiariowoio-2-2-33257515017575125150175501001252550100200200MA4 (theta=-0.9)MA3(theta=-0.4)S32中上-2-3-3257512517575125501001502550100150175200200
11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 不同参数的 MA（1）一阶移动平均过程。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 25 50 75 100 125 150 175 200 MA1 (theta=0.4) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 25 50 75 100 125 150 175 200 MA2 (theta=0.9) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 25 50 75 100 125 150 175 200 MA3 (theta= -0.4) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 25 50 75 100 125 150 175 200 MA4 (theta=-0.9)
（第4版266页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程MA（g）过程具有可逆性的条件是特征方程@(L)=(1 + ,L + 02 L? + ... + 0,L')= 0的全部根的绝对值必须都大于1。由 MA()过程，有@(L)"x,=ut。由于@(L)可表示为@(L) = (1 - H L) (1 - H, L) ... (1 - H, L), 所以11mgmmxutX@(L)1-H.L(1 - H,L)(1 - H, L)..(1 - H,L)1-H,L1-H,L1可见保证MA（）过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA（g）具有可逆性的条件是(L)"收敛。即必须有IHil<1或|H,">1，j=1，2，…，q成立。而H,是特征方程③(L)=0的根，所以MA()过程具有可逆性的条件是特征方程(L)=0的根必须在单位圆之外。（因为xr=@(L)ut是平稳的，如果变换成@L)xt=ut后变得不平稳，显然失去可逆性
（第4版266页） 11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程， (L) = (1 + 1 L + 2 L 2 + . + q L q ) = 0 的全部根的绝对值必须都大于 1。由 MA(q) 过程，有(L) -1 xt = ut 。由于(L) 可 表示为 (L) = (1 - H1 L) (1 - H2 L) . (1 - Hq L) , 所以 ut = t q t x H L H L H L x L (1 )(1 ).(1 ) 1 ( ) 1 − 1 − 2 − = = ( H L m 1 1 1− + H L m 2 2 1− + . + H L m q q 1− )xt 可见保证 MA(q) 过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即 MA(q) 具有可逆性的 条件是(L) -1 收敛。即必须有 | Hj | < 1 或 | Hj -1 | > 1，j = 1，2，.，q 成立。而 Hj -1 是特征方程 (L) = 0 的根，所以 MA(q) 过程具有可逆性的条件是特征方程 (L) = 0 的根必须在单位圆之外。（因为 xt = (L) ut是平稳的，如果变换成 (L) -1 xt = ut 后 变得不平稳，显然失去可逆性。）
（第4版267页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程注意，对于无限阶的移动平均过程x=（ut-)=ut(1+,L++..）i=0其方差为Var(x)=(Q?Var(ut-i))=oo？。很明显，虽然有限阶移动平均过i=0=0程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。这条件就是的方差必须为有限值，即00o?<8i=0注意：（1）对于AR(p）过程，不必考虑可逆性问题，只需考虑平稳性问题。条件是dL)=0的根（绝对值）必须大于1。(2）对于MA(g）过程，不必考虑平稳性问题，只需考虑可逆性问题。条件是L）=0的根（绝对值）必须大于1
11.2 时间序列模型的分类 2. 移动平均过程 注意，对于无限阶的移动平均过程 xt= =0 ( i i ut -i ) = ut (1+1 L+2 L 2 +. ) 其方差为 Var(xt ) = =0 ( i i 2 Var(ut- i ) ) = u 2 =0 2 i i 。很明显，虽然有限阶移动平均过 程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。 这条件就是 {xt } 的方差必须为有限值，即 =0 2 i i 注意：(1) 对于 AR(p) 过程，不必考虑可逆性问题，只需考虑平稳性问题。条件是 (L) = 0 的根（绝对值）必须大于 1。(2) 对于 MA(q) 过程，不必考虑平稳性问题， 只需考虑可逆性问题。条件是 (L) = 0 的根（绝对值）必须大于 1。 （第4版267页）
（第4版267页）11.2时间序列模型的分类3.自回归移动平均过程由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,)，其中p,分别表示自回归和移动平均分量的最大滞后阶数。ARMA(pの的一般表达式是x=Φ1xr-1+p2Xt2+ ...+ΦpXt-p+u,+0iut-1 +02ut2+ ... +0qut-q或(1-ΦL-Φ2L?-... -Φ,LP)x,=(1+0,L+0,L+...+0,L')u@(L) x, = @(L) ut其中Φ(L)和(L)分别表示关于L的p，9阶特征多项式，分别称为自回归算子和移动平均算子。ARMA(p,）过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即(L)=0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即L）=0的根取值应在单位圆之外
11.2 时间序列模型的分类 3. 自回归移动平均过程 由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为 ARMA(p, q)，其中 p, q 分别表示自回归和移动平均分量的最大滞后阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式是 xt= 1 xt-1+ 2 xt-2+ .+ p xt-p+ut+ 1 ut-1 + 2 ut-2+ . + q ut-q 或 (1 - 1L - 2 L 2 - . - p L p ) xt = (1+ 1 L+ 2 L 2 +.+ q L q ) ut (L) xt = (L) ut 其中(L)和(L) 分别表示关于 L 的 p, q 阶特征多项式，分别称为自回归算子和移 动平均算子。 ARMA(p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即 (L) = 0 的全部根取值在 单位圆之外（绝对值大于 1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即 (L) = 0 的 根取值应在单位圆之外。 （第4版267页）
11.2 时间序列模型的分类3.自回归移动平均过程ARMA(1, 1) 过程: x,- xt-1 =u, + eu-1或(1 - ΦL)x,=(1 + 0,L)ut只有当-1<d<1和-1<i<1时，上述模型才是平稳的，可逆的。0.04ARMA(1,1)日本人口差分序列0.0340.0220.010.00-0.014-0.02DY-0.0350300100150200250188019001920194019601980实际中对于非季节时间序列，ARMA(p，9）过程的最高阶数一般各不会超过2
11.2 时间序列模型的分类 3. 自回归移动平均过程 ARMA(1, 1) 过程：xt - 1 x t-1 = ut + 1 ut-1 或(1 - 1 L) xt = (1 + 1 L) ut 只有当 - 1 < 1 < 1 和 -1 < 1 < 1 时，上述模型才是平稳的，可逆的。 -6 -4 -2 0 2 4 6 5 0 100 150 200 250 300 ARMA(1,1) -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 1880 1900 1920 1940 1960 1980 D Y 实际中对于非季节时间序列，ARMA(p, q) 过程的最高阶数一般各不会超过 2。 日本人口差分序列