第6章自相关非自相关假定自相关的来源与后果自相关检验自相关的解决方法克服自相关的矩阵描述（不讲）自相关系数的估计案例分析（2例）file:li-6-1,li-6-2
第6章 自相关 非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述（不讲） 自相关系数的估计 案例分析（2例） file：li-6-1, li-6-2
6.1非自相关假定： Cov(ui, ui)=E(uiu)=0，(i,jε T， ij)如果 Cov(ui,u;)0,(i,j T,i+j)则称误差项ut存在自相关。自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。自相关按形式可分为两类。（1）一阶自回归形式。ut=f(ut-i)（2）高阶自回归形式。ut=f(ut-1,ut-2，.….）经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。ut = αi ut-i + VtE(v) = 0, t= 1,2..., TVar(v) =o,, t=1, 2 .., T。 Cov(vi, y)=0, i+j, i,j=1, 2 .., TCov(ut-1, v) = 0, t = 1, 2 ..., T（第4版第135页）
（第4版第135页） 6.1 非自相关假定：Cov(ui , uj ) = E(ui uj ) = 0, (i, j T, i j) 如果 Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项 ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类。 （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1 ) （2）高阶自回归形式。ut = f(ut- 1, ut -2 , . ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。 ut = 1 ut -1 + vt E(vt ) = 0, t = 1, 2 ., T Var(vt ) = v 2 , t = 1, 2 ., T。Cov(vi , vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 ., T Cov(ut-1, vt ) = 0, t = 1, 2 ., T
u,u,-依据OLS公式，模型u=αiut-1+中αi的估计公式是a,2u,-1t=27u,u,-1t=2若把utu-看作两个变量，则它们的相关系数是p：72>>uut--2{=2TZu,u,-1u？～u？。代入上式得1=21对于充分大的样本显然有u.t=2t=22=2对于总体参数有p=αi。u的一阶自回归形式可表示为，u,=put-i +vt（第4版第136页）
（第4版第136页） 依据 OLS 公式，模型 ut = 1 ut -1 + vt中1 的估计公式是 1 a ˆ = = − = − T t t T t t t u u u 2 2 1 2 1 。 若把 ut , u t-1看作两个变量，则它们的相关系数是 ˆ = = − = = − T t t T t t T t t t u u u u 2 2 1 2 2 2 1 。 对于充分大的样本显然有 = T t ut 2 2 = − T t ut 2 2 1 。代入上式得 1 2 2 1 2 1 ˆ = ˆ = − = − T t t T t t t u u u 。 对于总体参数有 = 1。ut的一阶自回归形式可表示为，ut = ut-1 + vt
下面以一元线性回归模型，Y,=β+βX,+ut,(t=1,2,...T)，其中ut=put-1+vr（存在一阶自相关）为例，推导ut的期望、方差与协方差公式。E(u) = E(puti + v) = pE(uti) + E(v)(1- p) E(u) = E(v) = 0E(u) =E(v) = 0Var(u) = E(u)*= E(puti+ v)? = E(p"ut! + v?+ 2 puti v)= p E(ut-) + E(v) + 2 pE(uti V),(E(ut1 v) = 0)(1- p) Var(u) = E(v) = o?2av（u,的自相关越严重，p越大，Var（u）越大）Var(u) =1-p2Cov(ut, ut-il) = E(utut-i) = E[ (put-i+ v) ut-i])(E(ut-i v) = 0)=E(put)? + ut-i V) =pE(uti") + E(uti v)(Var(u)越大，Cov(ur,u-i))= p Var(u-1) = p Var(u)Cov(ut, ut-2) = E(u,ut-2) = E[ (put-i+ v) ut2 ] = E(put-iut2 + ut-2v)= pE(ut-1ut-2)+ E(ut2v) = pCov(ut, ut-1) = p Var(u)。 (E(ut-2v) = 0)同理，Cov(ut, ut-s)=p'Var(u)
下面以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt， （存在一阶自相关）为例，推导 ut 的期望、方差与协方差公式。 E(ut ) = E( ut-1 + vt ) = E(ut-1 ) + E(vt ) (1- ) E(ut ) = E(vt ) = 0 E(ut ) = E(vt ) = 0 Var(ut ) = E(ut ) 2 = E( ut-1+ vt ) 2 = E( 2 ut-1 2 + vt 2 + 2 ut-1 vt ) = 2 E(ut-1 2 ) + E(vt 2 ) + 2 E(ut-1 vt )， （E(ut-1 vt ) = 0） (1- 2 ) Var(ut ) = E(vt 2 ) = v 2 Var(ut ) = 2 2 1- v ， （ut 的自相关越严重， 2 越大，Var(ut ) 越大） Cov(ut , ut-1 ) = E(ut ut-1 ) = E[ ( ut-1+ vt ) ut-1 ] = E( ut-1 2 + ut-1 vt ) = E(ut-1 2 ) + E(ut-1 vt ) （E (ut-1 vt ) = 0） = Var(ut-1 ) = Var(ut ) （Var(ut ) 越大，Cov(ut , ut-1 )） Cov(ut , ut-2 ) = E(ut ut-2 ) = E[ ( ut-1+ vt ) ut-2 ] = E( ut-1ut-2 + ut-2 vt ) = E(ut-1ut-2 ) + E(ut-2 vt ) = Cov(ut , ut-1 ) = 2 Var(ut )。（E (ut-2 vt ) = 0） 同理，Cov(ut , ut - s ) = s Var(ut )
序列的自相关特征分析。X(-1)30405060202o4-2a.正自相关序列b.正自相关序列散点图2Wo102030406060708090oc.负自相关序列d负自相关序列散点图（第4版137页）20206060701002oe.非自相关序列f非自相关序列散点图
（第4版137页） 序列的自相关特征分析。 -4 -2 0 2 4 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 X a. 正自相关序列 b. 正自相关序列散点图 -6 -4 -2 0 2 4 6 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 X c. 负自相关序列 d. 负自相关序列散点图 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 U e. 非自相关序列 f 非自相关序列散点图 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 X(-1) X -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 X(-1) X -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 U(-1) U