本节提要 问题1：什么是集合？ ·集合无定义，通过外延法、概括法描述 问题2：集合的基本概念有哪些？ 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？
本节提要 问题1：什么是集合？ - 集合无定义，通过外延法、概括法描述 问题2：集合的基本概念有哪些？ 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？
子集 12 口A为B之子集（记为A二B)指Hx(x∈A→x∈B), 口A为B之真子集（记为ACB)指A二B且A≠B。 口A中B是指3x(x∈AΛx庄B) 口例：{1,2S{1,2,3},ACA,NSR 口命题：A=B(A二B∧B二A) 口该命题也常被用来证明集合相等
子集 𝐴为𝐵之子集（记为𝐴⊆𝐵）指∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵)， 𝐴为𝐵之真子集（记为𝐴⊂𝐵）指𝐴⊆𝐵且𝐴≠𝐵。 𝐴⊄𝐵是指∃𝑥(𝑥∈𝐴∧𝑥∉𝐵) 例：{1,2}⊆{1,2,3}，𝐴⊆𝐴，N⊆R 命题：𝑨=𝑩↔(𝑨⊆𝑩∧𝑩⊆𝑨) 该命题也常被用来证明集合相等 12
空集 13 (ZF3*)空集公理：存在一个集合其没有任何元 素，称这种集合为空集(null set),记作0，其 为任何集合（包含空集本身)之子集 口命题：空集是唯一的 口证明：设0102皆为空集，则根据空集的定义，有 01二02Λ01二02，根据集合相等的定义有01=02
空集 (ZF.3*)空集公理：存在一个集合其没有任何元 素，称这种集合为空集（null set），记作∅，其 为任何集合（包含空集本身）之子集 命题：空集是唯一的 证明：设∅𝟏 ,∅2皆为空集，则根据空集的定义，有 ∅𝟏⊆∅2∧∅𝟏⊆∅2，根据集合相等的定义有∅𝟏=∅2 13
空集 14 空集本身是一个集合，也可以做为另一个集合 的元素或子集，故：0E{0},0二{0}；但因为空 集不含任何元素，故00,0≠{0} 0 定义：若集合A含有n个元素，则称A为n元集， 记为IA|=n;易见，0是0元集，{0}是1元集
空集 空集本身是一个集合，也可以做为另一个集合 的元素或子集，故：∅∈{∅}，∅⊆{∅}；但因为空 集不含任何元素，故∅∉∅，∅≠{∅} 定义：若集合𝐴含有𝑛个元素，则称𝐴为𝑛元集， 记为|𝐴|=𝑛；易见，∅是0元集，{∅}是1元集 14
由集合定义自然数 15 口在公理集合论中，集合是自然数的基础 口定义：设a为集合，称aU{a}为a的后继，记作at a定义(von Neumann): 令0=0,1=0+，2=0+，…，n=0++ 口定义：设A是集合，称A为归纳集(inductive set)指： O∈AA(Vx∈A)(x+∈A)
由集合定义自然数 在公理集合论中，集合是自然数的基础 定义：设𝒂为集合，称𝒂∪{𝒂}为𝒂的后继，记作𝒂+ 定义(von Neumann)： 定义：设𝑨是集合，称𝑨为归纳集(inductive set)指： ∅∈𝑨∧(∀𝒙∈𝑨)(𝒙+∈𝑨) 15