公理化集合论 6 危机的解决： 公理化集合论 在朴素集合论基础上，通过公理对集合加以限制。 例如：ZF公理化集合论的正则公理避免了罗素悖论 正则公理：每一个非空集合x,总包含着一元素y,使 x与y为不相交。 对于集合x,根据正则公理有：{x}里面有一个元素跟 {x}交集为空，即x∩{x}=0,即x庄X
公理化集合论 6 危机的解决： 公理化集合论 在朴素集合论基础上，通过公理对集合加以限制。 例如：ZF公理化集合论的正则公理避免了罗素悖论 正则公理：每一个非空集合x，总包含着一元素y，使 x与y为不相交。 对于集合x，根据正则公理有：{x}里面有一个元素跟 {x}交集为空，即𝒙∩{𝒙} = ∅，即𝐱 ∉ 𝐱
集合的概念 集合没有明确的定义，G.Cantor给出了一种刻划： 吾人直观或思维之对象，如为相异而确定 之物，其总括之全体即谓之集合，其组成此 集合之物谓之集合之元素。 通常用大写字母表示集合，如A、B、C等， 用小写字母表示元素，如a、b、c等。若集 合A系由a、b、c等诸元素所组成，则表如 A={a,b,c,…,而a为A之元素，亦常用a∈A之 记号表之者，a非A之元素，则记如aEA。” (肖文灿译于1939年，《集合论初步》，商务印书馆
集合的概念 集合没有明确的定义，G.Cantor给出了一种刻划： 7 “吾人直观或思维之对象，如为相异而确定 之物，其总括之全体即谓之集合，其组成此 集合之物谓之集合之元素。 通常用大写字母表示集合，如𝐴、𝐵、𝐶等， 用小写字母表示元素，如𝑎、𝑏、𝑐等。若集 合𝐴系由𝑎、𝑏、𝑐等诸元素所组成，则表如 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐,⋯}，而𝑎为𝐴之元素，亦常用𝑎∈𝐴之 记号表之者，𝑎非𝐴之元素，则记如𝑎∉𝐴。” （肖文灿译于1939年，《集合论初步》，商务印书馆）
例 8 口1,2,3为集合，“自然数之全体”为集合；但诸如 “甚大之数”或“与P点接近之点”则不能为集 合，因其界限不清 口集合中的元素互异，我们把元素的重复看作一次 出现，如{2,23,3}={2,3} 口Cantor提到的“总括之全体”之“总括”，可由 集合的外延公理和概括原则来描述
例 1,2,3为集合，“自然数之全体”为集合；但诸如 “甚大之数”或“与𝑷点接近之点”则不能为集 合，因其界限不清 集合中的元素互异，我们把元素的重复看作一次 出现，如{2,2,3,3}={2,3} Cantor提到的“总括之全体”之“总括”，可由 集合的外延公理和概括原则来描述 8
集合的大小 9 口有限集合及其基数 口若S恰有个不同的元素，n是自然数，就说S是有限集合， 而n是S的基数，记作|S|=n 口无限集合 ▣如果一个集合不是有限的，就说它是无限的
集合的大小 有限集合及其基数 若S恰有n个不同的元素，n是自然数，就说S是有限集合， 而n是S的基数，记作|S|=n 无限集合 如果一个集合不是有限的，就说它是无限的。 9
外延公理与概括原则 10 口(ZF)外延公理：集合由其元素完全决定 A=BVxx∈Ax∈B) 故证明集合A=B只需证明x(x∈A→x∈B) 口概括原则：对于人们直观或者思维之对象x的任 一性质P(x),存在集合S的元素恰为具有性质P 的那些对象，记为S={x|P(x)}。从而对任何a, a∈SP(a),例如{1,2,3}={xx=1Vx=2vx=3}
外延公理与概括原则 (ZF.1)外延公理：集合由其元素完全决定 𝐴=𝐵↔∀𝑥(𝑥∈𝐴↔𝑥∈𝐵) 故证明集合𝐴=𝐵只需证明∀𝑥(𝑥∈𝐴↔𝑥∈𝐵) 概括原则：对于人们直观或者思维之对象𝑥的任 一性质𝑃(𝑥)，存在集合𝑆的元素恰为具有性质𝑃 的那些对象，记为𝑆={𝑥|𝑃(𝑥)}。从而对任何𝑎， 𝑎∈𝑆↔𝑃(𝑎)，例如{1,2,3}={𝑥|𝑥=1∨𝑥=2∨𝑥=3} 10