③运筹学 第一章非线性规划 ★泰勒公式 若f(X)在X的邻域内有连续一阶偏导数,则可写出f(X)在X点 的(二阶)泰勒展开式: f(X-f(Xo)+vf(Xo(-X+(X-XOH(XO(X-X) +O(IX-Xoll 其中:o(lx-X0是当X→>X时X-X6的高阶无穷小
http://www.tju.edu.cn 第一章 非线性规划 ★泰勒公式 0 0 0 0 0 00 0 2 0 2 2 0 00 ( ) ( ) () ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) T T fX X fX X fX fX fX X X X X HX X X oXX oXX X X XX +∇ +− − + − →− & & && && 若 在 的邻域内有连续二阶偏导数，则可写出 在 点 的（二阶）泰勒展开式： ＝ （－ ） － 其中： 是当 时 的高阶无穷小
③运筹学 第一章非线性规划 例:写出f(x)=3x2+inx在X6=00点的二阶泰勒展开 式 解:V(X)=[6 X cOSX2],V/(X0)=[01y 60 H(X) H(X0) 0 -sinx, 00 60 f(X)=0+[0 +-|x +o(|X|) 如果忽略了o(|X,则/(X)在X点的近似表达式为 f(X)=3x2+x2
http://www.tju.edu.cn 第一章 非线性规划 例：写出 在 点的二阶泰勒展开 式。 2 1 2 fX x ()3 = +sin x 0 [0,0]T X = 12 0 0 2 ( ) [6 cos ] , ( ) [0 1] 6 0 6 0 ( ) , ( ) 0 sin 0 0 T T fX x fX x H X H X x ∇= ∇ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ 解: 1 1 2 1 2 2 2 ( ) 0 [0 1 1 6 0 ] [ ] ( ) 2 0 0 x x f X x x o X x x = + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + + ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ & & 2 0 2 1 2 ( ) ( ) 3 ( ) f X fX x oX X = x 如果忽略了 & & ，则 点的近似表达式为 在 +
③运筹学 第一章非线性规划 3.极值的条件 对于无约束极值问题,可以利用微积分的知识给出局部 极值点的条件。将n(m>1)元函数f(X)与一元函数f(x)的 极值条件加以对比并归纳如下: X(或x是极小点必要条件 充分条件 元函数(x)f(x)=0f(x)=0.耳f"x)>0 n元函数(X)Vf(X)=0V(X)=0且H(X)>0 注:H(X0)>0表示海赛阵正定。如果一个方阵的 各阶主子式均大于零,则可以判定该方阵是正定的
http://www.tju.edu.cn 第一章 非线性规划 3.极值的条件 对于无约束极值问题，可以利用微积分的知识给出局部 极值点的条件。将n(n>1)元函数 与一元函数 的 极值条件加以对比并归纳如下： f X( ) f x( ) X0 0 ( ) 或 是极小点 x 必要条件 充分条件 一元函数f ( )x n元函数f ( ) X 0 f x'( ) 0 = 0 ∇f X( )0 = 0 0 fx f x '( ) 0, ''( ) 0 = 且 > 0 0 ∇= > f X HX ( )0 ( )0 且 0 注： 表示海赛阵正定。如果一个方阵的 H X( )0 > 各阶主子式均大于零，则可以判定该方阵是正定的
③运筹学 第一章非线性规划 例:求f(x)=2x2-8x+2x2-4x2+20的极小值点。 解Vf(X) =[4x1-84x2 令V(X)=0,解得驻点X0=[2 40 又H(n) H(X0) >0 04 故X是极小值点
http://www.tju.edu.cn 第一章 非线性规划 例：求 fX x x () 2 2 = 1 12 2 2 2 −8 4 20 x x +−+ 的极小值点。 解 1 2 1 2 0 ( )[ ()0 ] [4 8 4 4] [2 1] T T T f f f X x x f X X x x ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ =− − = ＝ 令 ＝ ，解得驻点 0 0 4 0 () , ( )0 0 4 HX HX X ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ > ⎝ ⎠ 又 故 是极小值点
③运筹学 第一章非线性规划 4.凸规划 ★凸函数:fX是定义在凸集D上且满足对任意X1,2∈D a∈[0,有下式成立的函数: f(ax1+(1-a)X2)≤axf(X1)+(1-a)f(X2) 若不等式中严格不等号成立,则称(X为严格凸函数 注:判断一个可导函数X)是否是凸函数的方法 元函数x):二阶导大于等于零; 多元函数(X):海塞阵半正定
http://www.tju.edu.cn 第一章 非线性规划 4.凸规划 ★凸函数：f(X)是定义在凸集D上且满足对任意 有下式成立的函数： 1 21 2 f X ( )( α α + − (1 ) ) (1 ) ( ) α X ≤ f X + −α f X 1 2 X , , X D∈ α ∈[0,1] 若不等式中严格不等号成立，则称f(X)为严格凸函数 注：判断一个可导函数f(X)是否是凸函数的方法 一元函数f(x) ：二阶导大于等于零; 多元函数f(X) ：海塞阵半正定