例，设连续型随机向量(X,Y)具有联合密度Ce-(2x+3y)x>0,y>0f(x,y) :=-其他[0,试求:(1)常数C:(2)X、Y的边缘密度(2x+3y) dxdy解:(1)Cef(x,y) C0-2.dx16故C=6
：(1) C ;(2)X、 Y 。 0, , 0, 0 ( , ) ( , ) (2 3 ) 试求 常数 的边缘密度 其他 例 设连续型随机向量 具有联合密度 = − + C e x y f x y ， X Y x y 6 1 6 ( )( ) ：(1) ( , ) 0 0 2 3 0 0 (2 3 ) 0 0 = = = = = + + − + + − + + + C C C e dx e dy f x y C e dxdy x y x y 故 解
(2)X的边缘密度为：-(2x+3y) dy6ex>0Jofx(x) = ( f(x, y)dy二人[0,x≤02e-2xx>00,x≤0Y的边缘密度为：06e-(2x+3y) dx,y>0fr(y) = (t f(x, y)dx =JO[0,y≤o3e3xx>00,x≤0
= = = − + − + + − 0, 0 2 , 0 0, 0 6 , 0 ( ) ( , ) (2)X ： 2 0 (2 3 ) x e x x e dy x f x f x y dy x x y X 的边缘密度为 = = = + − + + − 0, 0 3 , 0 0, 0 6 , 0 ( ) ( , ) Y ： 3 0 (2 3 ) x e x y e dx y f y f x y dx x x y Y 的边缘密度为
例 设(X,Y)的概率密度是0≤x≤1,0≤y≤xcy(2 - x),f(x,y)=其它0求(1)c的值;(2)两个边缘密度[" J f(x,y)dxdy =1解: (1) m f(x, y)dxdy= I'tf cy(2 - x)dyldx确定C= c[[x(2 -x) /2]dx =5c/24=1,c =24/5
例 设(X,Y)的概率密度是 − = , 其它 cy( x ), x , y x f ( x, y ) 0 2 0 1 0 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度. =5c/24=1, c =24/5 − − 解：(1) f (x, y)dxdy c x x dx = − 1 0 2 [ (2 )/ 2] − − f (x, y)dxdy =1 确定C = − 1 0 0 [ (2 ) ] x cy x dy dx
例 设(X,Y)的概率密度是cy(2-x), 0≤x≤1,0 ≤xf(x,y) =注意积分限其它0求(1)c的值;(2）两个边缘密度.解: (2)24fx(x)y(2 - x)dy5Jo-X120≤x≤1(2 -x)X5中01注意取值范围
例 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度. − = 0 , 其它 (2 ), 0 1,0 ( , ) cy x x y x f x y = − x f X x y x dy 0 (2 ) 5 24 ( ) (2 ), 5 12 2 = x − x 0 x 1 注意积分限 注意取值范围 x y 0 1 y=x
例 设(X,Y)的概率密度是cy(2-x),0≤x≤1,0≤y≤xf(x,y) =0其它求(1)c的值;(2）两个边缘密度注意积分限24-解:(2) f(y) =(2 - x)dxV5y24y=x0≤y≤1V252注意取值范围x01
例 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度. − = 0 , 其它 (2 ), 0 1,0 ( , ) cy x x y x f x y ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y = y − y + = − 1 (2 ) 5 24 ( ) y f Y y y x dx 0 y 1 注意积分限 x 注意取值范围 y 0 1 y=x