《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第四章 特征值和特征向量_第四节 实对称矩阵的相似对角化_4.4 实对称矩阵的相似对角化

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化推论实对称矩阵A的特征向量都是实向量这是因为A的特征向量都是(,I-A)X=0的非零解向量而A的特征值1，是实数定理2实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交证设Aa,=11Aa2=12(,12,a,10,a,0)liafaz-(la)az=(a,)az =a,A, =ala2 =l ala2(-1)aa,=0Ql-,0,(ara)-a,a,=0高教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 推论 实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 . 定理2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 . 证

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化定理3对任一实对称矩阵A，都存在正交矩阵C，使a0一O一CTAC-C-IAC-C一C一Creno其中，111,,L，1，是矩阵A的特征值用数学归纳法可以证明定理3推论设A是实对称矩阵，！是A的k重特征值则所对应的线性无关特征向量的个数恰为k高教育出版社11新时代大学数学票利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 三、实对称矩阵的相似对角化 定理3 用数学归纳法可以证明定理3 . 推论

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化求正交矩阵C与对角矩阵L的步骤()求f()=1-A的根:/1,1,(2）求（L,I-A)X=0的基础解系：anai,Lans(3)将 αai2,La正交化后再单位化得：giu.gi2,L-gm(4)令C=(guLgnLghLgh）则C为正交矩阵且CAC=CAC==diag(,I,I,)首高事教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化ae220例1C5A=--eO求正交矩阵C与对角矩阵L使CTAC=C-IAC=L解=(1 - 1) (1 - 10)I-Al, =1(二重), 1, =10高教育出社1新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 解

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化求1，=的特征向量81-2120al2-201-A--2 -4OR0CC2420CX, =-2x2+2x，a,=(-2,1,0), a,=(2, 0,1)将 正交化:b,=,=(-2,1,)(a2,bi)-(2.0,1)-(-2.1, 0)(bi,b.)(2 4. ),首高教育出服社11新时代大学数学票利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数