第六章波色系统：超流性 6.1液He4中的超流相变 自然界中的氦有两种稳定的同位素：Hc3和He4。Hc3是费米子，He4是玻色子。氦原子间相互作用很 弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。 在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体。 固态 比热 闭态 相变线 HeI 临界点 气态 总T3 ⊙ Hell He 气态 U=46.2/原子 T=2.18K T=2.18K 液He4有两个不同的相：正常相He和超流相HeI,正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度T,=2.18K 和比容，=46.2A/atom处发生HeI到HeII的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数 形式趋于无穷大，表明这是二级相变。比热线很像入，因此此相变又称为λ相比，曲线AB称为λ线。 在T=0附近，比热以T规律趋于零
第六章 波色系统：超流性 6.1液He⁴中的超流相变 自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 。 是费米子， 是玻色子。氦原子间相互作用很 弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。 在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体。 液He⁴有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度 和比容 处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数 形式趋于无穷大，表明这是二级相变。比热线很像λ，因此此相变又称为λ相比，曲线AB称为λ线。 在T=0附近，比热以 规律趋于零
6.2液HeI的特性二流体模型 液HeI的特性： 1.液HeⅡ能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性。而且存在一个临 界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。 2. 如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液HeI里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系 数。结果比“毛细管”法测得的大106倍（与正常相的相似）。且测得的系数强烈依赖 于温度，随T→0K而趋于零。 3.当液HeI由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液HeI的温度升高（见 右下图)。这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应。 4. 液HeI的热导率很大，数量级为室温下铜的800 倍，而且其热导与通常流体不同，并不正比于 温度梯度。 B 二流体模型的解释： 1.液HeI由正常流体和超流体两种成分组成。 连接的毛细管 超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具 有粘滞性和熵，用Ps和Pm表示超流体和正常 流体的质量密度，速度场为)和v,则总质 T T+△T 量密度为：p=Ps十Pm,总质量流为： pV=psUg十Pnvn: 2.T=0K时，全液体为超流体；T=T时，全部为正常成分。二者之间时Psp是温度的函 数。 3.超流成分的速度场是无旋的，即又×v。=0。且两种流体成分可以相对流动而彼此间无 摩擦（无动量交换）
6.2 液He II的特性 二流体模型 液He II的特性： 1. 液He II能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性。而且存在一个临 界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。 2. 如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液He II里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系 数。结果比“毛细管”法测得的大10⁶倍（与正常相的相似）。且测得的系数强烈依赖 于温度，随T→0K而趋于零。 3. 当液He II由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液He II的温度升高（见 右下图）。这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应。 4. 液He II的热导率很大，数量级为室温下铜的800 倍，而且其热导与通常流体不同，并不正比于 温度梯度。 二流体模型的解释： 1. 液He II由正常流体和超流体两种成分组成。 超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具 有粘滞性和熵，用 和 表示超流体和正常 流体的质量密度，速度场为 和 ，则总质 量密度为： ，总质量流为： 2. T=0K时，全部液体为超流体； 时，全部为正常成分。二者之间时 是温度的函 数。 3. 超流成分的速度场是无旋的，即 。且两种流体成分可以相对流动而彼此间无 摩擦（无动量交换）
只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一； 只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二： 机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量 的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三； 特性四：设想均匀温度的液HeI中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点 的P/p要增加，而Ps/P将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的 超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。 这种内部调整进行的很快，使液HeI有极好的导热性。 由于液HeI中有两种成分，朗道预言4HeI中会有两种独立的振动波：若)s和Un方向一致， 测振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声（第一声）：若vs和)方向相反，则可能 在保持总密度p=Ps十P基本不变的情况下，Ps,Pm分别有涨落。由于超流成分熵为 零，P的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。 S,7
只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一； 只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二； 机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量 的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三； 特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点 的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的 超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。 这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。 由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若 和 方向一致， 则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则可能 在保持总密度 基本不变的情况下， 分别有涨落。由于超流成分熵为 零， 的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）
6.3超流体的涡旋运动 昂萨格和费因曼在理论上指出，在液HeI的基态或液HeI的超流成分中，可以存在一种“组 织化的运动”-量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为0，若液HeI相 以匀速)s运动，则系统波函数为： 这里ps=Nmws是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子vs不均匀，在局部意义 上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位 移引起的波函数的相位变化为： △功= vs·△rj 现在考虑超流体的涡旋。设想液H相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到 其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位 变化必为2π的整数倍，即 无∑△r)=2mn(m=0,士1，士2，) 注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分： fu,dl=nhn=0,h,2小 这表明，环流是量子化的，环流量子为/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理， ×u)ds=nm (n=0,±1，±2，… S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速)。在S内处处连续，则左方的 积分可以随S连续地趋于零，但右方不能·连续变化，故只有7×va=0
6.3 超流体的涡旋运动 昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组 织化的运动”----量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相 以匀速 运动，则系统波函数为： 这里 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义 上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位 移引起的波函数的相位变化为： 现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到 其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位 变化必为2π的整数倍，即 注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分： 这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理， S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的 积分可以随S连续地趋于零，但右方不能·连续变化，故只有
但对复连通区域或)。有奇点的情形上式不成立。如一个中心在r=0处的柱对称的涡旋，其速度 场为v=(ur,2,v2)=(0,wr,0)。r=0是v的奇点。除涡旋轴(r=0)外，我们仍有7×vw=0, 但对以=0为中心且垂直于z轴的圆的积分回路，我们有 udl=e2mr=n (n=0,土1，土2，..》 m 实验已观测到量子化涡旋，其半径为1A左右。 圆柱型容器中超流体的旋转： 对正常液体，由于重力和离心力，液体的自由表面呈抛物面状： w2r2 r)=20)+2g 对超流体又如何？ 实验发现超流体和正常液体的形状是一样的。如何与7×v。=0的假设协调？ 如右图，考虑一系列互相平行的涡旋线的均匀分布阵列。 每一（最小）涡旋的环流为h/m,以N表示单位面积的涡 旋线数。考虑半径为r及r+dr的两园之间的封闭面元。涡 旋线环流之和是N2πrdrh/m。除去r和r+dr的园边界外，相 邻涡旋的速度场彼此抵消。 H 另一方面，面元周界内的净环流又可以计算如下： (u+dw)2r(r+dr）-v2πr≈2πd(r 'm d(rv) 两种算法的结果应相等，故有V= hr dr 若要超流体和正常液体以相同的方式旋转，只需取 V=Const.=2wm/h即可。涡旋线间的距离d≈1/WW,当 w=1rad/s时，d约为0.1mm量级，这远比量子化涡旋大
但对复连通区域或 有奇点的情形上式不成立。如一个中心在r=0处的柱对称的涡旋，其速度 场为 。r=0是 的奇点。除涡旋轴（r=0）外，我们仍有 ， 但对以r=0为中心且垂直于z轴的圆的积分回路，我们有 实验已观测到量子化涡旋，其半径为1Å左右。 圆柱型容器中超流体的旋转： 对正常液体，由于重力和离心力，液体的自由表面呈抛物面状： 对超流体又如何？ 实验发现超流体和正常液体的形状是一样的。如何与 的假设协调？ 如右图，考虑一系列互相平行的涡旋线的均匀分布阵列。 每一（最小）涡旋的环流为h/m，以N表示单位面积的涡 旋线数。考虑半径为r及r+dr的两园之间的封闭面元。涡 旋线环流之和是N2πrdrh/m。除去r和r+dr的园边界外，相 邻涡旋的速度场彼此抵消。 另一方面，面元周界内的净环流又可以计算如下： 两种算法的结果应相等，故有 若要超流体和正常液体以相同的方式旋转，只需取 即可。涡旋线间的距离 ，当 ω=1rad/s时，d约为0.1mm量级，这远比量子化涡旋大