im.1p2(+h)一P4()|d=0 h→0+J0 则在(3)中令h→0+后即得证(1) 由实变函数论中JysH定理,对任意6>0,存在有界连续 函数g;(),满足 L(4<。,A=(:0≤5≤2a,81()≠p()) 其中L表 Lebesgue测度.对0≤h≤a,令 B=(:0≤≤4,(+h)≠pk(s+h) 如s∈B就有+h∈A所以L(B)≤L(A),故 Spa(+4)-Palds s r lg (+)-g(dr 户+(+h)一()|d+ (0,a)A p;κ(s+h) (o, 4)B 户k()ds 由gx()的有界连续性,当h充分小时,右方第一积分小于;第 二积分不大于2L(4)<元;第三积分不大于2L(B)≤2L(A E ,这得证(4) 4°:显然 5°:设 U lin P(in) lim P(r) 是任二极限矩阵,上二式屮的收敛表逐元收敛,改写(C)为矩阵 的形式 P(+)=P()P() 在(5)中令t沿4→0十,利用4°及制收敛定理,再改写s为 后得 P(+)=PGU 此式中第讠横行之和为 34
走 由(B显然∑≤1.如对某j∑<1,则由(7)对此 有p;()=0(x>0),从而珩=t;=0.在(6)中令沿5→ 0+,利用Faou引理得 走 对求和,并注意刚才所证的结果:如∑t<1则=0,可 见(8)式双方对求和后都等于∑,因此(8)中必取等式亦 即有 扩≡pU (9) 另方面,在(5)中令s沿→0+,出Ftou引理得 P()≥IP() 于(10)中令沿t→0+,我们有 U≥v (11) 比较(9),(11)得U≥V;由对称性V≥U,于是U=V而得证 极限的存在,出此及(9得证().(a)与(b则分别由(A),(B 而显然 5°→1°:由 lm;(+b)=1im∑pA(e(b) →0 ∑P()“6 (12) 知p()在每t上有右极限.由函数论知,这种函数的不连续点 集至多可数因而p;(r)可测 1)实际上,对任意有理数r,令 D ,=(: lim pi (t+ h)>t> lim pi (2+ h)) Er=(+ im p: (t+ A)<r<lim Pii (t+ h)) 显见如∈D,,则x是D,的右孤立点,故D,距多可数,从∪D,也至多可 数。同理,∪E,也至多可数、于是p;()的不连续点集至多叮数
注1可测性只能异致每P()在(0,∞)连缓,而不能保证 在0点的连续性,即不能保证1=b;,实际上,砌=;将作为 更强的条件—一而引进见§22 二)现在来研究p()在0点的极限lmp;(x),为此,由 定理1中5°。只要讨论具有性质(),(b)(c)的一般矩阵U,(不 必一定是imP(x)).定理2给出了这种矩阵的表达式;或者,从 解方程的观点看,它给出了方程(a),(b),(c)的全部解 定理2设U=(1)为任意满足(a),(b),(c)的矩阵,则参 数集E=(i)可分解为互不相交的子集F,IJ…,使 0,如j∈F ()存在实数(∈E一F),具有性质 使 r;=8t;如i∈I,jJ (y)存在非负数叫,p,…,(i∈F)具有性质 使 H",如i∈F,i (16) 反之,设已给E的任一分割,它将E分解为不相交的子集F I,J,…,并且已给满足(13)的实数t,(j∈I-F)及满足(15) 的非负数p,J…(∈F,则由(a),(14)及(16)所定义的 U=(mn;)满足(a),(b),(c) 证令,=supt;由(a),() k≤∑A十乱;一群) 放由(b) 1)樂类(,J…)记为C,∑
(1+ ;≤ 两边对i取上确界 1 如t;>0,由上式知#1一t≤0,故由v1的定义得 如t,=0,(17)显然成立.由(17)及(),(b)得 #, )≤行+1( 因而 如t 今定义F=(:z;=0).如i∈F,对任意,有0≤;≤ =#i;=0,故(a)成立 在E一F中引进一关系“~”:记i~j,如>0.由(17) 知此关系是反射的(即;~n;由(18)知它对称即如i~i,则 ~i);由(),(得1≥,故它还是推移的(即如i~k k~j则i~j.从而此关系将E一F分为不相交子集J 使当且只当t;>0时,属于同一子集, 今证(14):由分类法,如i∈Ⅰ,J当I≠J时有x;==0 当一J时有t;≥0,由(18)=,合并这两种情形即得 (I4) 今证(13):其中第一式显然,任取jF,有 0 t (19) 以=i除两边,并注意(b)及(14),得 ∈F) (20) 今定义 ∈ 如j∈J,则
uik ui=pity k∈J 此得证(16),由(b)得(15). 反面的继论是平凡的,只需直接验证由(a),(14)及(16)定 义的U满足(a),(b),(c) (三)现在回到可测转移矩阵(p;)在0点的极限矩阼U= (x;),;=lmp;(t),利用它可以将P()的元通过较简单的函 数表达出来.对此U3应用定理2而得,F,l,J,……,C, 定理3设(;)为任意可测转移矩阵,U由上式定义,又E按 定理2的方式对U分解为 E= FUIUJU∴ 2 则P(t),(>0)可如下表达 ()p;()=0,如F,(t>0); (23) (i)存在转移矩阵(1),I,丿∈C,满足 lim I, (4) 6 (24) 使对t>0,有 p;()=(m1如i∈I,∈J 其中 (i)可以找到在(0,∞)上的连续函数i∈F,J∈C,满 足 I1(≥0,∑1(=1 ∑n1()(=D1(+ 使 p;(t)=n1r(t)n,如i∈F,jJ 反之,设任给E的…分割,它将E分解为不相交的子集 F ,并且已给任一满足(24)的转移矩阵(mn)J∈C,任意 满足(26)的(,∞)上的连续函数{;i∈F,J∈C}及任意满足 (13)的4,∈E一F,则由(23),(25),(27)定义的P(t)(在