P(xi, =in 这得证X是满足(8)的马氏链.最后,在(10)中取i=… ?1 0,得 qi (三)在马氏链理论中,重要的是另一概率P,(4),它定义 在σ代数{x,≥tu∈T上,它是满足下列条件的概率 对任意t1≤≤…≤3(≤t)i…,i∈E,有 P. c 25 x P(H1)P;(4)……pn-(切n-1 其中p(s,印是X的转移概率,根据测度论中关于在无穷维空间 中产生测度的 KoJMorOpOB定理,满足(12)的概率唯一存在 P,(4)的直观意义如下:设P(x=i)>0,则 t i)(13) 实际上,由引理2,右方值等于 P(x2=) q+Pki(O, iP, (t, ti).Pin_(a-1,fn) kpK(0, t) p;(t,t1)P;(4,h)……pn=(n-1,2n) Psi cx x」 根据(13),我们自然称P,(A)为开始分布集中在时A的 条件概率, 如果X是齐次的,那么由(12)及(4)得 P4,x+; 3 n=i=P(x1=i…,x=i)(14) 其中PA)=P,(A),(14)表明对时间指移的不变性,其实还可 把(14)如下推广 定义在T上而取值于E中的函数记为(·),全体这种函数 构成空间E,包含全体形如 29
C=(e(·):c(t:) (15) 的集的最小a代数记为闭,貂是E中的σ代数.设任意给出 个定义在E上的函数f(c(·)),我们似定fc(·)有界而且关 于密可测.其次,对每固定的a∈,t≥0,t∈T,以x(x+· 0)表s的函数x(+s,m),它可视为自样本函数x(,)经“t 推移”而得,由于x(,c)及x(t+·,ω)都属于E,故f(x( ))及fx(t+·o)都有定义.我们证明 E.[f(x(t+·,c)1=E[(x(·,))] 实际上由f的的可测性知f(x(t+·,o)为和可测,当 f为(15)中集C的示性函数时,(16)左方化为 P;(x(t+t1)=i1 由(12)及齐次性,此值等于 p;(4)p(2-4)……pn-,(n一n-) P, Axle 故(16)对f=X正确;利用-系方法即知(16)对任意有界而 且密可测的函数fc(·))都正确 引进依赖于的概率P,x(A): P,xa,(4)=P,:C4),如x() 因而当固定时,P,x1(A)是一普通的概率P,4),在§1.5(5) 中取5(ω)=fx(t+·,u),并注意(l3),得 E[f(x(t+·))]=Ex八(xt+·,))(as.)(17) 如果X是齐次的,由(17),(16)得 E[f(x(t+·,m))|=Exf(x(,m)(as)(1 四)转移函数的概念可稍许推广.称实值函数p;(,( i∈E,s≤1,5t∈7)为广转移函数,如果它满足(一)中条件 (A)(C)(D)及 (B)∑,,≤1 广转移函数可通过护大状态空间而化为转移函数.实际上, 任取一点a∈E,把E=E∪{a看成新状态空闻,在其上定义函
数 户;(,1)=p:(st 如ijF 1-∑p4(,1)如i∈E,=a}(19 如 容易看出,孙(s,t)是中的转移函数 根据定理1,可以找到马氏链={x(),t∈T},它的状态 空间是E而转移概率是列(s2t,由(19)知a是的吸引状态; 就是说,“具有性质:如x(o)=a,则有+()≡a(h≥0) 直观地说质点到达a后便永被a吸引而不能离开,令 ()=inf(:x1(o)=a) (20) 则()是首达4的吋刻,亦即被a开始吸引的时刻,有时也称 (o)为中断时间
第二章马尔科夫链的解析理论 §21可测转移炬阵的一般性质 (一)设p()(,∈E,≥0)是齐次转移函数,如上章所 述,它是满足下列条件的实值函数: (A)p;()≥0; (B)∑p()=1 (C)p;(+)=2p4();() (D)p(0)=b 为了研究转移函数的解析性质,需要对它逐步地补加条件,以 下简记(Pp;(t))为(p;)或P(t) 称转移矩阵(P;)为可瀾的如果它的每元p;(t)是t∈(0 ∞)的 Lebesgue可测函数 可测性条件导致深远的后果.下定理表示,可测性等价于每 p;()在(0,∞)上的连续性,也等价于每p;(t)在0点存在极限 lim Pii (i) 定理1对任意转移矩阵(P;),下列五条件等价: 1°(P;)可测; 2°对任意固定的a>0 lim ∑|p;(+h)一P 0 1) h→0十【> 3°对任意盾定的a>0,每个p()对t∈(a,∞)一致连 缤,而且这一致性对j也或立;精确地说,对任给ε>0,存在 (=a(a)>0,当|b<时有 1)如只讨论F()在(,∞)上的性质,则条件(D)可不考虑 32
xp;(+b)-P()}<E(一切t≥8,i∈E) 每P()在 )连续 5°对任意ij∈E,存在极限 lim p; (e)= uii 而且极限矩阵U=(x;)具有下列性质 (b)U≤I ()U=U(z; Wisu 其中0表示元皆为0的矩阵,而I表单位直行矢量(其元皆为1) 证1°→2°:由(C)及(B),对0≤s<t2有 2n(+)-p(O)->n+ p;(]Pe(-)≤∑|P4(+ (∑n4-)-∑|m(+h)-p()|(2) 这说明级数的和∑!p;(+)-P;()是x的不增函数.由可 测性,如t≥a,可将(2)双方对囟0积分到a而得 ∑|p(+h)-p;()|≤ Pitc 既然右方与z无关,故 ∑|p;(+h)-p( d 如0<b<a,则(3)的右方级数被收敛级数2∑p4 所控制,故可住求和号下对h取极限.因此,如能证明