复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形$9.4复合函数的偏导数复合函数偏导数的链式法则9.4.1以二元函数为例，设u = f(S, )定义在区域D上的一个二元函数E = Φ(c,y), = b(c,y)定义在区域△上.为了使复合函数u = f((α, y), (c, y))有意义，则要假设(Φ(c,y), b(α, y) E D对任何（α,y)E△成立以下总是作这样的假设返回全屏关闭退出II1/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ §9.4 Eܼê ê 9.4.1 Eܼê êóª{K ±¼ê~, u = f(ξ, ζ) ½Â3« D þ¼ê, ξ = φ(x, y), ζ = ψ(x, y) ½Â3« ∆ þ. ¦Eܼê u = f(φ(x, y), ψ(x, y)) k¿Â, Kb (φ(x, y), ψ(x, y)) ∈ D é?Û (x, y) ∈ ∆ ¤á. ±eo´ùb. 1/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形为了书写的简明和可推广性，我们有时也采用向量值函数的写法，记g = (g1, 92),这里91,92都是定义在R2中区域△上的二元函数.这样g: A→R2是一个向量值函数设D 也是 R2中区域,且 g()C D.若二元函数 f 在D上有定义,则fog就是定义在△上的二元函数IRAfog返回全屏关闭退出I42/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ Ö{²Úí25, ·kæ^þ¼ê{. P g = (g1, g2), ùp g1, g2 Ñ´½Â3 R2 ¥« ∆ þ¼ê. ù g : ∆ → R 2 ´þ¼ê. D ´ R2 ¥«, g(∆) ⊂ D. e¼ê f 3 D þk½Â, K f ◦ g Ò´½Â3 ∆ þ¼ê. ∆ D R g f f ◦ g 2/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形在讨论可微性之前，首先要解决复合函数的连续性问题定理1设A和D都是R2中区域若9：△→D在CoEA连续f:D→R在yo=g(co)连续,则复合函数 fog:A→R在ao连续证明因为 f 在 o连续,所以对任意 ε 0存在 i >0,使得当y E B(yo,i)n D 时, 有If(y) - f(yo)l < e.因为 g在 ao 连续, 所以对 i 存在 >0 使得当 E B(ao,)n △ 时,有g(α) g(co)/ < 1,即, y=g(α) E B(yo,di)nD. 由此知当 α E B(αco,)n△ 时, 有If o g(c) - f o g(co)l < e.这就说明fog在Co连续返回全屏关闭退出II3/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ 3?Ø5c, Äk)ûEܼêëY5¯K. ½n 1 ∆ Ú D Ñ´ R2 ¥«. e g : ∆ → D 3 x0 ∈ ∆ ëY, f : D → R 3 y0 = g(x0) ëY, KEܼê f ◦ g : ∆ → R 3 x0 ëY. y² Ï f 3 y0 ëY, ¤±é?¿ ε > 0 3 δ1 > 0, ¦ y ∈ B(y0, δ1) ∩ D , k |f(y) − f(y0)| < ε. Ï g 3 x0 ëY, ¤±é δ1 3 δ > 0 ¦ x ∈ B(x0, δ) ∩ ∆ , k |g(x) − g(x0)| < δ1, =, y = g(x) ∈ B(y0, δ1) ∩ D. dd x ∈ B(x0, δ) ∩ ∆ , k |f ◦ g(x) − f ◦ g(x0)| < ε. ùÒ`² f ◦ g 3 x0 ëY. 3/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形定理2设△和D都是R2中区域若g：A→D在E△可微f：D→R在y=g(c)可微,则复合函数fog：△→R在ε可微,且(9.1)J(f o g)(α) = J f(y)Jg(α).公式(9.1)表示了复合函数 f og 的偏导数与 f 和 g 的偏导数之间的关系,称为复合函数偏导数的链式法则.设 =(α1,α2),y = g(α)，即y1 = g1(α1, a2), y2 = g2(aα1, α2), z = f(y1, y2) = f o 9, 则 (9.1) 就是Qy1y1zz8z.0zaai0r2(9.2)Sri'axQyi' Qy2Qy2Qy2T2o1展开就是n8z oy1 +8z8y2(9.3)Da1dydaSy2da82aQz02(9.4)822Syida2By20a2II返回全屏关闭退出-l4/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ ½n 2 ∆ Ú D Ñ´ R2 ¥«. e g : ∆ → D 3 x ∈ ∆ , f : D → R 3 y = g(x) , KEܼê f ◦ g : ∆ → R 3 x , J(f ◦ g)(x) = Jf(y)Jg(x). (9.1) . úª (9.1) L« Eܼê f ◦ g ê f Ú g êm 'X, ¡Eܼê êóª{K. x = (x1, x2), y = g(x), =, y1 = g1(x1, x2), y2 = g2(x1, x2), z = f(y1, y2) = f ◦ g, K (9.1) Ò´ ∂z ∂x1 , ∂z ∂x2 = ∂z ∂y1 , ∂z ∂y2 ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 ! (9.2) ÐmÒ´ ∂z ∂x1 = ∂z ∂y1 ∂y1 ∂x1 + ∂z ∂y2 ∂y2 ∂x1 (9.3) ∂z ∂x2 = ∂z ∂y1 ∂y1 ∂x2 + ∂z ∂y2 ∂y2 ∂x2 (9.4) 4/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形证明 对于E△取hER2的模充分小,使+hE△.因为g在可微，所以(9.5)gi( + h) - gi(α) = Jgi(c) · h + o(h)(9.6)g2(c + h) - g2(c) = Jg2() · h + o(h)g的可微性保证了它的连续性, 因此当 h 趋于零时, k = g(c +h)一g(α)也趋于零，这里把k看出列向量.因为f在=g(α）可微，所以(9.7)f(y+ k) - f(y) = Jf(y) ·k +o(k),(9.5)和(9.6)合并起来可以写成k=Jg(α)h+o(h),将之代入(9.7)并注意到o(k) = o(h),就得到f(g(c+h))-f(g(c)) = Jf(y).(Jg(α)·h+o(h))+o(k) = Jf(y).Jg(c).h+o(h)这就表明复合函数fg在α可微，且（9.1）成立，返回全屏关闭退出二5/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ y² éu x ∈ ∆ h ∈ R2 ¿©, ¦ x + h ∈ ∆. Ï g 3 x , ¤± g1(x + h) − g1(x) = Jg1(x) · h + o(h) (9.5) g2(x + h) − g2(x) = Jg2(x) · h + o(h). (9.6) g 5y §ëY5, Ïd h ªu", k = g(x + h) − g(x) ªu", ùpr k wÑþ. Ï f 3 y = g(x) , ¤± f(y + k) − f(y) = Jf(y) · k + o(k). (9.7) (9.5) Ú (9.6) Ü¿å5±¤ k = Jg(x)h + o(h), ò\ (9.7) ¿5¿ o(k) = o(h), Ò f(g(x+h))−f(g(x)) = Jf(y)· Jg(x)·h+o(h) +o(k) = Jf(y)·Jg(x)·h+o(h). ùÒL²Eܼê f ◦ g 3 x , (9.1) ¤á. 5/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ