x() 0 2 0 /2 x()=esgn(t)符号函数 符号函数频谱 b)阶跃函数频谱 w0-6e8 在跳变点0处函数值未定义，或规定M0)F12。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里 叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数 M0=+7gn0 u)-Ft-t- U1=550 1 (πf) 结果表明，单位阶跃信号)的频谱在0处存在一个冲激分量，这是因为认0含有直流分量，在预料 之中。同时，由于)不是纯直流信号，在0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 IUUM1 2 0 12 π/2 01 单位阶跃信号频谱 解法2：利用冲激函数 0-foar-6 根据傅里叶变换的积分特性 Un=f[arar]4nr4on-8n- 1
b)阶跃函数频谱 1 0 ( ) 0 0 t u t t ì > = í î < 在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里 叶变换，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数 1 1 ( ) sgn( ) 2 2 ut t = + [ ] [ ] 11 1 1 1 1 1 ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 U f ut t f j f j f f é ù æ öé ù = = + = +- = - ê ú ç ÷ ê ú ë û è øë û d d p p FFF ( ) 2 2 1 1 () () 2 Uf f f d p = + 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料 之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2：利用冲激函数 1 0 ( ) ( )d 0 0 t t u t t dt t -¥ ì > = = í î < ò 时 时 根据傅里叶变换的积分特性 11 1 1 ( ) ( )d ( ) (0) ( ) ( ) 22 2 t Uf f f f j jf f dt t d d -¥ p p é ù é ù = = D +D = - ê ú ê ú ë û ë û ò F 单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/2) f φ(f) 0 π/2 -π/2 1 ( ) sgn( ) at xt e t - = 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f φ(f) 0 π/2 0 f |X(f)| -π/2
1-5求被战断的余弦函数c0s,1(见图1-26)的傅里叶变换。 m-6v457 解：x()=w()cos(2πf） w0)为矩形脉冲信号 W(f)=2 Tsinc((2πf） eos2r0=eaw+ee） 所以0=)n0e2s+与m0eW 根据频移特性和叠加性得： x=U-)+U+0 0 =Tsinc2πTf-f6月+Tsinc[2πTf+f6】 图1-26被截断的余弦函数 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动6，同时谱线高度减小一 半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 XU) 6 被截断的余弦函数频谱 16求指数衰减信号x()=e“sino,1的频谐 x() A 指数衰减信号 解答
1-5 求被截断的余弦函数 0 cosω t (见图 1-26)的傅里叶变换。 0 cos ( ) 0 ω ttT x t t T ì < ï = í ï ³ î 解： 0 xt wt ft ( ) ( ) cos(2 ) = p w(t)为矩形脉冲信号 W f T Tf ( ) 2 sinc(2 ) = p ( ) 0 0 2 2 0 1 cos(2 ) 2 j ft j ft ft e e p p p - = + 所以 0 0 1 1 2 2 () () () 2 2 j ft j ft xt wte wte- = + p p 根据频移特性和叠加性得： 0 0 0 0 1 1 () ( ) ( ) 2 2 sinc[2 ( )] sinc[2 ( )] Xf Wf f Wf f T Tf f T Tf f = -+ + = -+ + p p 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一 半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0 ( ) sin at xt e ω t - = 的频谱 解答： 指数衰减信号 x(t) f X(f) T -f0 f0 被截断的余弦函数频谱 图 1-26 被截断的余弦函数 t -T T t -T T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1
sin(o)) 所以0=eew-e） 单边指数衰减信号x)=e“(a>0,1≥0)的频谱密度函数为 小-mc-orea号 根据频移特性和叠加性得： oj-a-oi-xa+a二-二别】 aa2-(o2-21 +(o-,]++,J+o-1a+o+万 X(@) -t 指数衰减信号的频谱图 1-7设有一时间函数)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡c0s0,(,>0)。在这个关系 中，函数)叫做调制信号，余弦振荡cos,1叫做载波。试求调幅信号f)cosa的傅里叶变换，示意 画出调幅信号及其频谱。又问：若)，<0时将会出现什么情况？ 图1-27题1-7图
( ) 0 0 0 1 sin( ) 2 jt jt t ee j - = - w w w 所以 ( ) 0 0 1 ( ) 2 at jt jt xt e e e j - - = - w w 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0, 0) at xt e a t - = >³ 的频谱密度函数为 1 1 2 2 0 1 ( ) () j t at j t a j X f x t e dt e e dt aj a ¥ ¥ - - -¥ - = = == + + ò ò w w w w w 根据频移特性和叠加性得： [ ] 0 0 1 01 0 2 22 2 0 0 2 22 00 0 2 22 2 2 22 2 00 00 1 1 () () () ( ) ( ) 2 2 () () [ ( )] 2 [ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ][ ( ) ] aj aj XX X j ja a a a j aa aa é ù - -+ = - + = - ê ú ë û +- ++ - - = - +- ++ +- ++ ww ww w ww ww ww ww w w w ww ww ww ww ww 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡 0 0 cos ( ) ωt ω > ωm 。在这个关系 中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0 cosω t 叫做载波。试求调幅信号 0 f t( ) cosω t 的傅里叶变换，示意 画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0 < ωm 时将会出现什么情况？ 图 1-27 题 1-7 图 ω F(ω) 0 f(t) 0 t -ωm ωm 0 0 X(ω) -π π φ(ω) ω ω 指数衰减信号的频谱图
解：x0=f)cos(a,) F(@)=Af()] cosa,)=ew+em） 所以0=)j0e+f0em 根据频移特性和叠加性得： X(-F-)+F(@+0) 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频，同时谱线高度减小一半。 矩形调幅信号频谱 若<0n将发生混叠。 1-8求正弦信号x()=xsi(a1+p)的均值4，、均方值和概率密度函数p). 解答： 0%=-0-片6ma侧+p=0,式中五-名-E装指苦 ew-er0地=2 xsr(ar+pw-l-2-号 2 (3)在一个周期内 T0=△1+△2=2A 作0a归导-号尝 To 网-马创只异总盖 △x
解： 0 xt f t t ( ) ( ) cos( ) = w F ft ( ) [ ( )] w = F ( ) 0 0 0 1 cos( ) 2 jt jt t ee- = + w w w 所以 0 0 1 1 () () () 2 2 jt jt xt f te f te- = + w w 根据频移特性和叠加性得： 0 0 1 1 () ( ) ( ) 2 2 Xf F F = -+ + ww ww 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 ω0，同时谱线高度减小一半。 若ω0 < ωm 将发生混叠。 1-8 求正弦信号 0 xt x ( ) sin( ) = + ωt φ 的均值 x μ 、均方值 2 ψx 和概率密度函数 p(x)。 解答： (1) 0 0 0 0 0 1 1 lim ( )d sin( )d 0 T T x T μ xt t x ωt φ t ®¥ T T = = += ò ò ，式中 0 2π T ω = —正弦信号周期 (2) 0 0 2 2 2 2 22 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 cos 2( ) lim ( )d sin ( )d d 2 2 TT T x T x x ωt φ ψ xt t x ωt φ t t ®¥ TT T - + = = += = òò ò (3)在一个周期内 T tt t x0 12 =+= Δ Δ 2Δ 0 0 0 2Δ [ () Δ ] lim x x T T T t Px xt x x ®¥ TT T < £+ = = = Δ 0 Δ 0 2 2 0 0 0 [ () Δ ] 2 Δ 2d 1 ( ) lim lim x x Δ Δ d Px xt x x t t p x x T xTx π x x ® ® < £+ = = == - f X(f) ω0 -ω0 矩形调幅信号频谱
正弦信号
x(t) 正弦信号 x x+Δx Δt Δt t