例 设f∈C[a,b],g在区间a,b]上可微，且g'(x)≤0，则有5∈(a,b),成立 [f(x)g(x)dx=g(af(x)d+g(b)f(x)d i证明：fow)g(y)d (grfoadj-(esfodnja -g(b)f()di-(E(b)-g(a)f()di -g(J(+()d
例 , , [ , ] ( ) 0, , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f C a b g a b g x a b f x g x dx g a f x dx g b f x dx 设 在区间 上可微，且 则有 成立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b x b x a a a a b a a b a f x g x dx g x f t dt g x f t dt dx g b f t dt g b g a f t dt g a f x dx g b f x dx 证明：
微积分基本公式一Newton-Leibniz公式 设函数f∈[a,b],且在[a,b]上有原函数F,即在区间[a,b]上，F'(x)=f(x), 则fx)dk=F(b)-F(a)=F(x北 证明：对区间可[a,b]n等分，满足a=。<x<…<xm-1<xn=b其长度为 △y,=X-X-1 b-0,i=1,2…,n于是 n FO)-Fa)=2[x)-F(G】-∑F(G)A=∑f5)A,5∈(x) 两端取极限即得
微积分基本公式——Newton-Leibniz公式 ( ) ( ) [ , ] , [ , ] ( ) ( ( ) ) ) , ( b b a a f a b a b F a b F f x dx F b F a F x x f x 设函数 ，且在 上有原函数 ，即在区间 上， 则 R 0 1 1 1 1 1 1 1 1 [ , ] , 1,2, , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , n n i i i n n n i i i i i i i i i i i i a b n a x x x x b b a x x x i n n F b F a F x F x F x f x x x 证明：对区间 等分，满足 其长度为 = , 于是 两端取极限即得
例 八 1-3 c)ds 2 sin (x)dx cos(a)-cos(b)
例
例 （0++ 取对数并令a,=之n1+分)→+达= 20时 19 a 1.8 17 4e(-1) 16时 51015202530
例 1 1 2 lim 1 1 1 n n n n n n 1 0 1 1 4 ln 1 ln(1 ) n n k a x n k dx n e 取对数并令
微积分基本定理 设函数feC[a,bl那么由式(a)=广f)di,x∈[a,b]确定的函数 la,1→R有a上可导，月（么oh= 证明：AΦ=中(x+A)-D(,=∫“f0)di-f)d =“f)dh+f0dh=∫f0dt=f(传)Axx”→f()
微积分基本定理 [ , ] ( ) ( ) , , ( ) [ , ] [ , ] ( )= ( ) ( ) x a x a f C a b x f t dt x a b d x a b a b x f t dt f x dx 设函数 ，那么由式 确定的函数 ： 在 上可导，且 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a a x x a x x x a x x x x x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f x f x 证明：