长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容tanx例 1 求limXsin3x例 2 求limXtanx?例 3求limXsinx第一个重要极限limx>0x练习：1.从例2、3总结的推广形式：sin(x2 -4)sin(x-3)-COSX求lim及lim和lim大x-3x-2x-→2x-→0x→32.sinxlim1下面证明第一个重要极限-0xx→x时函数f(x)极限的夹逼定理设存在着某个正数8,当0<x-x<时有 g(x)≤f(x)≤h(x),且 lim g(x)=lim h(x)=A,则lim f(x)=A证明略)x-→xlim(1+-)=e及lim(1+x)=e二、第二个重要极限：2（证明略）X->03例4求lim(1+=)x例5求lim(1+2x)第二个重要极限lim(1+=e及lim(1+x)X练习：1.由例4、5总结的推广形式；)2xlim (1 + 3x)rlim (1-)lim2.求及x→X和x→0例某人以本金P元进行一项投资，投资的年利率为r.若以年为单位计算复利（即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），则t年后，资金总额将变为p(1+r)（元))12（元），依次类推，若以月为单位计算复利，那么t年后的资金总额将变为p(1+12第 11 页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 11 页 11 例 1 求 0 tan lim x x → x 例 2 求 0 sin 3 lim x x → x 例 3 求 2 0 tan lim x x → x 练习：1.从例 2、3 总结 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 的推广形式； 2. 2 2 3 2 0 sin( 3) sin( 4 1 cos lim lim lim . x x x 3 2 x x x → → → x x x − − − − − ） 求 和 及 下面证明第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = . 0 x → x 时函数 f (x) 极限的夹逼定理 设存在着某个正数 ,当 0 x − x0 时 有 g x f x h x ( ) ( ) ( ), 且 0 0 0 lim ( ) lim ( ) , lim ( )=A. x x x x x x g x h x A f x → → → = = 则 证明略）. 二、 第二个重要极限： e x x x + = → ) 1 lim (1 及 1 0 lim(1 ) x x x → + = e （证明略） 例 4 求 3 lim(1 ) . x x→ x + 例 5 求 1 0 lim(1 2 ) x x x → + . 练习：1.由例 4、5 总结 第二个重要极限 e x x x + = → ) 1 lim (1 及 1 0 lim(1 ) x x x → + = e 的推广形式； 2.求 x x x 1 0 lim (1+ 3 ) → 及 x x x 2 ) 1 lim (1− → 和 3 1 ) 1 lim ( + → + x x x x . 例 某人以本金 p 元进行一项投资，投资的年利率为 r .若以年为单位计算复利 （即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），则 t 年后，资金总额将变 为 (1 )t p r + （元） 若以月为单位计算复利，那么 t 年后的资金总额将变为 12 (1 ) 12 r t p + （元），依次类推
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容若以天为单位计算复利，那么t年后的资金总额将变为)3651（元）p(1+365一般地，若以一年为单位计算复利，那么1年后的资金总额为np(1+= （元).n现在让n→co，即每时每刻计算复利（叫做连续复利），求t年后的资金总额。小结：第6节无穷小量的比较引例：由前面所学易求得如下结果x2x3 +3xsinxx=1,(3) lim= 3.(4)lim() lim= 0;(2)lim-lim-=80x-0 x→0xx-→0 XXx-0 x一、无穷小量比较的定义定义设α,β在x→（或x→）时均是无穷小量，且β0β(1)若lim=0，就说β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α);αβ(2)若limo，就说B是比α低阶的无穷小量：αβ(3)若limC≠0，就说β是与α同阶的无穷小量；aαβ(4)若lim就说β是与α等价的无穷小量，记作α～β.αUlim(x+3)=6，可知当x→3时，x2-9与x-3是同阶的无穷小例由lim量.sinxlim可知当x→时，sinx与x是等价无穷小量，即由→0xsinkx=1(k0,keR)知，sinkx~kx(x→0)及sinx~x(x→0).另外，由lim(->0kxtankx=1有 tan kx~ kx(x→0).lim容易证明当x→0时，→0kx第12页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 12 页 12 若以天为单位计算复利，那么 t 年后的资金总额将变为 365 (1 ) 365 r t p + （元） 一般地，若以 1 n 年为单位计算复利，那么 t 年后的资金总额为 (1 ) r nt p n + （元）. 现在让 n → ，即每时每刻计算复利（叫做连续复利），求 t 年后的资金总额. 小结： 第 6 节 无穷小量的比较 引例：由前面所学易求得如下结果 2 3 2 0 0 0 0 0 sin 3 1 (1)lim 0; (2)lim 1, (3)lim 3, (4)lim lim x x x x x x x x x x → → → → → x x x x x + = = = = = . 一、无穷小量比较的定义 定义 设 , 在 0 x x → （或 x → ）时均是无穷小量，且 0 ⑴若 lim 0 = ，就说 是比 高阶的无穷小量，记作 = o( ); ⑵若 lim = ，就说 是比 低阶的无穷小量； ⑶若 lim 0 c = ，就说 是与 同阶的无穷小量； ⑷若 lim 1 = ，就说 是与 等价的无穷小量，记作 ~ . 例 由 2 3 3 9 lim lim( 3) 6 x x 3 x x → → x − = + = − ，可知当 x → 3 时， 2 x −9 与 x−3 是同阶的无穷小 量. 由 0 sin lim 1 x x → x = ， 可 知 当 x →0 时 ， sin x 与 x 是 等 价 无 穷 小 量 ， 即 sin ~ ( 0). x x x → 另外，由 0 sin lim 1( 0, ) x kx k k R → kx = 知， sin ~ ( 0) kx kx x → 及 0 tan lim 1 x kx → kx = 有 tan ~ ( 0) kx kx x → . 容易证明 当x → 0时
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容sinx~x,tanx~x,n(1+x)~x,e-1~x,arcsinx~x,1-cosx~D二、等价无穷小量的性质定理1β与α是等价无穷小量的充分必要条件是β=α+o(α).B定理2设x→x（或x→）时，α~α，β~β，且lim存在，则tan3x例1利用等价无穷小量代换求lim0sin5x练习：1.判断当x→0时，x2-3x与x2-x相比，哪一个是高阶无穷小量sin(x-1)2.利用等价无穷小量代换求极限limx2-1小结：作业：P,1(2,3），2（3,4)第 7 节函数的连续性函数连续性的概念1.函数在一点连续的定义2.函数左、右连续的定义结论一函数f(x）在点x处连续的充要条件是它在点x处既是左连续又是右连续.即有lim f(x)= f(x)= lim f(x)-0若f(x)在开区间(a,b)内点点连续则称f(x)在开区间(a,b)内连续.当f(x)在开区间（a,b)内连续，且左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称其在闭区间[a,b]上连续.结论二基本初等函数在其定义域内点点处都连续，即基本初等函数在其定义域内是连续的.第13页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 13 页 13 2 2 1 sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x) ~ x , e 1 ~ x arcsin x ~ x 1 cos x ~ x x + − ， ， − . 二、等价无穷小量的性质 定理 1 与 是等价无穷小量的充分必要条件是 = + o( ). 定理 2 设 0 x x → （或 x → ）时， ~ ~ ˊ， ˊ，且 lim ˊ ˊ 存在，则 例 1 利用等价无穷小量代换求 0 tan 3 lim x sin 5 x → x . 练习： 1.判断当 x → 0 时， x 3x 2 − 与 2 3 x − x 相比，哪一个是高阶无穷小量. 2.利用等价无穷小量代换求极限 1 sin( 1) lim 2 1 − − → x x x . 小结： 作业： 31 P （1 2,3 . ），2（3,4） 第 7 节 函数的连续性 一、 函数连续性的概念 1.函数在一点连续的定义 2.函数左、右连续的定义 结论一 函数 f x( ) 在点 0 x 处连续的充要条件是它在点 0 x 处既是左连续又是右连 续.即有 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = = 0 lim ( ) x x f x → + . 若 f x( ) 在开区间 ( , ) a b 内点点连续则称 f x( ) 在开区间 ( , ) a b 内连续.当 f x( ) 在 开区间 ( , ) a b 内连续，且左端点 a 处右连续，在右端点 b 处左连续，则称其在闭区间 [ , ] a b 上连续. 结论二 基本初等函数在其定义域内点点处都连续.即基本初等函数在其定义域 内是连续的