长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容[xn-a<a-<x,<a+即这表明在数轴上，XN+1X+2都落在开区间（a-8,a+）内，见下图。U(a,e)a+ea-8X2X1X3xXN+1XN+3aXN+23.极限数列的性质简介定理 1（收敛数列的有界性）若数列x收敛，则数列x一定有界定理2单调有界数列必有极限提间：有界数列必有极限吗？为什么二、函数极限1. x→80 时函数f(x)的极限的定义引例： 考察函数 F(x)=1当X→0时的变化趋势。定义设函数f(x)在x大于某正数M时有定义，若存在常数A使得对于任意给定的任意小的正数，总存在一个正数X，使得当x>X时，恒有[F(x)- Al<8成立，则常数A叫做x→时函数(x)的极限，记作lim f(x) = A或f(x) → A(x → 00)有时只需要考虑x→+o0（或x→-0）时，函数f(x）的极限，那么只要把定义3的>X改为x>X（或x<-X)，就可得到lim f(x)= A (或 lim f(x)= A)的定义.容易证明如下结论：lim J(x)=A的充分且必要条件是 lim f(x)=A= lim f(x)页P6
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 6 x − a n 即 a − x a + n 这表明在数轴上， , , , xN+1 xN+2 都落在开区间 (a −,a + ) 内，见下图。 3.极限数列的性质简介 定理 1 （收敛数列的有界性）若数列 n x 收敛，则数列 n x 一定有界. 定理 2 单调有界数列必有极限. 提问：有界数列必有极限吗？为什么. 二、函数极限 1. x → 时函数 f (x) 的极限的定义 引例：考察函数 当 时的变化趋势。 定义 设函数 f (x) 在 x 大于某正数 M 时有定义，若存在常数 A 使得对于任意给 定的任意小的正数 ，总存在一个正数 X ，使得当 x X 时，恒有 f (x) − A 成立，则常数 A 叫做 x → 时函数 f (x) 的极限，记作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 有时只需要考虑 x → +（或x → −） 时，函数 f (x) 的极限，那么只要把定义 3 的 x X 改为 x X（或x −X）,就可得到 f x A x = →+ lim ( ) （或 f x A） x = →− lim ( ) 的定义.容易证明如下结论： f (x) A x = → lim 的充分且必要条件是 = = →+ f x A x lim ( ) lim f (x) x→− x f x 1 ( ) = x →
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容2.x→x时函数f()的极限的定义定义 3设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义.若存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0<x-x<8时，所对应的函数值f(x)都满足不等式If(x)-Al<8则常数A叫做x→x时函数f(x)的极限，记作lim f(x)= A或f(x) → A(x→x)用此定义易证明证明limc=c（c为常数），及X→xaxo+b(a,b均为常数且a±0)lim(ax例1 求 lim(2x-1)及lim(3x+5)练习求lim(x+1)及lim(x-xo)3，x→x时函数的左、右极限定义左极限，记作 limf(x)=A或f(x)→A(x→x)及f(x)=A：右极限，记作 lim(x)=A或()→A(x→）及f()=A左极限与右极限统称为单侧极限lim f(x)= A的充分且必要条件是：(x)=A=(x)重要结论：例2研究当x→0时，(x)=x的极限是否存在x-1 ,x<0练习：已知函数f(x)=^，x=0，证明当x→0时f(x)的极限不0[x+1 ，x>0页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 7 2. 0 x → x 时函数 f (x) 的极限的定义 定义 3 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义.若存在常数 A ，对于任 意给定的正数 （无论它多么小）,总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 0 x − x0 时，所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A 则常数 A 叫做 0 x → x 时函数 f (x) 的极限，记作 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x A f x A x x → = → → 或 用 此 定 义 易 证 明 证 明 c c x x = → 0 lim （ c 为 常 数 ） ， 及 lim ( ) , 0) 0 0 + = + → ax b ax b a b a x x （ 均为常数且 . 例 1 求 lim (2 1) lim (3 5) 1 0 − + → → x x x x 及 练习 求 0 0 0 lim( 1) lim ( ) x x x x x x → → + − 及 3 . 0 x → x 时函数的左、右极限定义 左极限，记作 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim ( ) x x f x A f x A x x f x A − − − → = → → = 或 及 ； 右极限，记作 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim . x x f x A f x A x x f x A + + + → = → → = 或 （ ）及 左极限与右极限统称为单侧极限. 重要结论： f (x) A x x = → 0 lim 的充分且必要条件是： ( ) ( ) − + 0 = = 0 f x A f x 例 2 研究当 x → 0 时， f (x) = x 的极限是否存在. 练习：已知函数 + = − = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x f x ， 证明当 x → 0 时 f (x) 的极限不
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容存在.4.有极限函数的性质简介定理3 设 lim (x)=A(或lim (x)=A),而且 A0,若A>0(或A<0),那么存在着某个正数（或正数M），当0x-xo<（或>M）时，f(s)恒不为零且与A有相同的符号推论若当0<x-xl<（或当叫>X）时，(x)≥0（或(x)≤0）.且lim f(x)=A（或 lim f(x)=A)则A≥0 (或A≤0)小结：作业：P23,4.第3节无穷小量和无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的定义2.有极限函数与无穷小量的关系定理1在自变量的某个变化过程中，函数f(x)以数A为极限的充分必要条件是：f(x)= A+α其中a是同一变化过程中的无穷小（证明略）3.无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；（2）有限个无穷小量的积仍是无穷小量；（3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量由性质（3）直接得到如下推论：推论常数与无穷小量的积也是无穷小量例 1 lim sin xx练习：求lim(x-2)cosx.二，无穷大量无穷大量的定义x→X0（或C）时无穷大量记作8页P
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 8 存在. 4.有极限函数的性质简介 定理 3 设 f (x) A x x = → 0 lim （或 f (x) A x = → lim ），而且 A 0 ，若A A 0( 0), 或 那么存在着某个正数 （或正数 M ）,当 0 x − x0 （或 x M ）时， f (x) 恒不为零且与 A 有相同的符号. 推论 若当 0 x − x0 （或当 x X ）时， f (x) 0 （或 f (x) 0 ）.且 f (x) A x x = → 0 lim （或 f (x) A x = → lim ）则 A 0 （或 A 0 ）. 小结： 作业： 22 P 3 4. ， 第 3 节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 1.无穷小量的定义 2.有极限函数与无穷小量的关系 定理 1 在自变量的某个变化过程中，函数 f (x) 以数 A 为极限的充分必要条件是： f (x) = A+ 其中 a 是同一变化过程中的无穷小（证明略） 3.无穷小量的性质 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； （2) 有限个无穷小量的积仍是无穷小量； （3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量. 由性质（3）直接得到如下推论： 推论 常数与无穷小量的积也是无穷小量 例 1 x x x sin lim → lim ( 2) cos . 2 x x x − → 练习：求 二．无穷大量 无穷大量的定义 . 0 x → x （或 x → ）时无穷大量记作
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容Im J(x)=00 (或 lim (x)=00) .三．无穷小量与无穷大量之间的关系定理2在自变量的同一个变化过程中，若f(x）是无穷大量，则是无是无穷大量穷小量；反之，若(1)是非零的无穷小量，则(x)第4节极限运算法则一、函数极限的四则运算法则定理1若函数f(x)和g(x)在x→x(或x→)时都存在极限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在×→x(或x→)时也存在极限，且有(1) lim[ f(x)±g(x))= lim f(x)±lim g(x)(2) lim[ (x)·g(x)= lim f(x) lim g(x)(3) lim调调,(im g()*0)g(x)lim g(x)推论1常数C可以提到极限符号前，即 lim cf(a)=clim f(x)推论 2若lim f(x)=A,且m为自然数，则 lim[f(x)]" =[lim f(x)]" =Amlim x" = (lim x)" = xom特殊地，有x→Xo例 1 求 lim(x2 +4x-7)4x2-3x+1例2求 lim-1 3x2 6x + 5结论：若f(α）是基本初等函数，设其定义域为D，而xeD，则有lim f(x)= f(xo)页P9
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 9 = → lim ( ) 0 f x x x （或 = → lim f (x) x ）. 三．无穷小量与无穷大量之间的关系 定理 2 在自变量 的同一个变化过程中，若 f (x) 是无穷大量，则 f (x) 1 是无 穷小量；反之，若 f (x) 是非零的无穷小量 ，则 f (x) 1 是无穷大量． 第 4 节 极限运算法则 一、函数极限的四则运算法则 定理 1 若函数 f (x)和g(x) 在 ( ) x → x0 或x → 时都存在极限，则它们的和、差、 积、商（当分母的极限不为零时）在 ( ) x → x0 或x → 时也存在极限，且有 （1） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) （2） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x)lim g(x) （3） ,(lim ( ) 0) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = g x g x f x g x f x 推论 1 常数 c 可以提到极限符号前，即 lim cf (x) = c lim f (x) ; 推论 2 若 lim f (x) = A ，且 m 为自然数，则 m m m lim[ f (x)] =[lim f (x)] = A . 特殊地，有 m m x x m x x x x x0 lim (lim ) 0 0 = = → → 例 1 求 lim ( 4 7) 2 1 + − → x x x ； 例 2 求 3 6 5 4 3 1 lim 2 2 1 − + − + →− x x x x x 结论：若 f (x) 是基本初等函数，设其定义域为 D ，而 x0 D ，则有 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = →
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计练习：求lim(x-4)及limr-2x+2例 3 lim ±-2→2 x2 - 4例 4 求 lim 3x2 - 2x - 42x3+x2+54x2_3例5limx5x2+2x由例4、5、易知当a￥0,b±0,m和n为非负整数时有业60当n=mIim r"+ax++am当n>m+box"+b,x"-+.+b.当n<m二、复合函数的极限法则定理 2 设函数u=(x)当 x→ x。时的极限存在且 lim (p(x)=a,而函数 y= f(u)在点u=a处有定义且lim f(u)=f(a),则复合函数 y=f[p(x)当x→x。时的极限也存在且等于 f(a)，即lim f[g(x)]= f(a)小结：x2 -9x? +2练习：求limlimx-3x-* 3x-1r-→3:作业：P285,6,8,13第5节两个重要极限sinx第一个重要极限lim-1x>0x（首先讲应用此极限做题）第10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 10 练习： 求lim( 2 4)及 2 − → x x 2 1 lim x→2 x + . 例 3 4 2 lim 2 2 − − → x x x 例 4 求 2 5 3 2 4 lim 3 2 2 + + − − → x x x x x 例 5 2 2 4 3 lim x 5 2 x → x x − + 由例 4、5、易知当 a0 0,b0 0,m和n 为非负整数时有 = = + + + + + + − − → n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 lim 0 0 0 1 0 1 1 0 1 二、复合函数的极限法则 定理 2 设函数 u =(x) 当 0 x → x 时的极限存在且 (x) a x x = → 0 lim ,而函数 y = f (u) 在点 u = a 处有定义且 f (u) f (a) u a = → lim ，则复合函数 y = f[(x)] 当 0 x → x 时的极限 也存在且等于 f (a) ，即 lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → 小结： 练习:求 3 9 lim 2 3 − − → x x x ； 3 1 2 lim 2 − + → x x x . 作业： 28 P 5 6 8 13. ， 第 5 节 两个重要极限 一、 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = （首先讲应用此极限做题）