例7求函数 y=xn的导数，n为正整数Ay(x+ Ar)" -x"解 由于ArAr1n(n= nxn-1n-?Ar +...+ Ar"-1+2因此n(nLy'= lim (nxn-l+n-?Ar + ...+ Ar"-l) = nx"-1+2Ar-→0返回前页后页
前页 后页 返回 例7 求函数 y = x n 的导数，n为正整数. 解 由于 x x x x x y n n D + D − = D D ( ) , 2 −1 ( 1) −2 −1 + + − = + n n n x x x n n nx D D ) . 2 ( 1) lim ( 1 2 1 1 0 − − − − D → D + + D = − = + n n n n x x x x nx n n y nx 因此
例8证明：(i) (sinx)' =cosx, (cosx)'= -sinx;(i) (loga x) = -logae (a>0, a+ 0, x>0),(lnx)= -(iii) (a)=aIna我们只证明（ii）前页后页返回
前页 后页 返回 例8 证明: ( ) i (sin ) cos , (cos ) sin ; x x x x = = − 1 (ii) (log ) log e ( 0, 0, 0) , a a x a a x x = 我们只证明 ( iii ) . 1 (ln ) ; x x = (iii) ( ) ln . x x a a a =
(ii) 由于qr+sxAxeArlnaatAya金qtat二Ax△xxAxAxlnaaino二AxlnaArIna一e因此 (a")=a"Ina lim=a* Ina.AxlnaAr-→0(e')'=e'Ine=et返回前页后页
前页 后页 返回 (iii) 由于 因此 x a a a a x a x x x ln e 1 ( ) ln lim ln 0 D − = D D → a ln a . x = (e ) e lne e . x x x = = , ln e 1 ln ln x a a a x a x D − = D 1 x x x x y a a ax a x x x +D D D − − = = D D D x a x a x D − = D e 1 ln
三、导数的几何意义在用几何问题引出导数概念时，已知f（x）是曲线y=f(x) 在点 P(xo,f(xo))处切线的斜率. 所以该切线的方程是(8)y-f(xo)= f(xo)(x-xo)记α为切线与x轴正向的夹角，则f'(xo) = tanaα.返回前页后页
前页 后页 返回 三、导数的几何意义 切线的方程是 记 为切线与 x 轴正向的夹角，则 f (x0 ) = tan . 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ). (8) 在用几何问题引出导数概念时, 已知 f x ( ) 0 是曲线 y f x = ( ) 在点 处切线的斜率. 0 0 P x f x ( , ( )) 所以该
由此可知，f'(xo)>0 说明 α 是锐角；f(xo)<0说明α是钝角；f(x)=0说明α=0（切线与x轴平行).Vy'=00V>J<0y=f(x)a0x前页后页返回
前页 后页 返回 由此可知, f (x0 ) 0 说明 是锐角; f (x0 ) 0 说 明 是钝角; f x ( 0 ) = = 0 0 说明 (切线与 x 轴平 行 ). O y 0 x y y = 0 y 0 y=f x( ) • • •