S2 收敛数列的性质返回前页后页
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一、惟一性定理2.2 若(a） 收敛,则它只有一个极限二、有界性定理2.3 若数列 {a收敛,则(a,为有界数列,即存在 M>0,使得|a,≤M,n=1, 2,.….注意：有界数列不一定收敛前页后页返回
前页 后页 返回 一、惟一性 定理 2.2 若 { } an 收敛, 则它只有一个极限. 二、有界性 即存在 0, | | , 1, 2, . M a M n = 使得 n 定理 2.3 若数列 {an }收敛, 则 {an } 为有界数列， 注意：有界数列不一定收敛
三、保号性若 lim a,=a>0(<0),则对任何a' e(0,a)定理2.4n-00(或a'(a,0)),存在正数N,使得当n>N时,有a,>a(或an<a).推论 1 若 lim a,=a>b(<b),存在正数N,使得当n→8n>N时,有a,>b(a,<b)返回前页后页
前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 lim 0( 0), (0, ) n n a a a a → 若 = 则对任何 ( ). n 或a a ( ( ,0)), , n 或a a N a a 存在正数 使得当n>N时,有 推论 1 lim ( ), n n a a b b → 若 = 存在正数N,使得当 ( ). n N a b a b 时 n n ,有
推论 1 若 lim a,=a>b(<b),存在正数N,使得当n→n>N时,有a,>b(a,<b),推论 2 设 lim an =a,lim b, =b,a<b, 则存在正n→8n8数N,使得当 n>N时,有a<bn四、保不等式性定理 2.5 设{a,},(b, 均为收敛数列，如果存在正数N,当n>N,时,有a,≤b,,则 lima,≤limb,n-→0n→后页返回前页
前页 后页 返回 推论 1 lim ( ), n n a a b b → 若 = 存在正数N,使得当 ( ). n N a b a b 时 n n ,有 推论 2 lim , lim , , n n n n a a b b a b → → 设 = = 则存在正 数N,使得当 . n N a b 时 n n ,有 四、保不等式性 定理 2.5 { }, { } n n 设 a b 均为收敛数列, 如果存在正 0 0 , , , 数N n N a b 当 时 有 n n lim lim . n n n n a b → → 则
注若将定理2.5中的条件a,≤b,改为a,<bn也只能得到lima,≤limb,n→>00n0这就是说，良即使条件是严格不等式，结论却不一定是严格不等式2但 lim-= lim=0例如，虽然福n-nn-on前页后页返回
前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 , n n a b n n a b 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 lim lim . n n n n a b → → 例如 , 虽然 1 2 , n n 但 1 2 lim lim 0 . n n → → n n = =