S2 第二型曲线积分第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分，这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功，而这类问题显然与曲线的方向有关。一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算三、两类曲线积分的联系前页后页返回
前页 后页 返回 §2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的 是在有方向的曲线上定义的积分, 这是由于 第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线 作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关. 三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 返回
一．第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一yB(M,)种类型的曲线积分问题M-1例如一质点受力F(x,J)L(x,y)P的作用沿平面曲线L从M,H0M,A(M.)点A移动到点B,求力x0F(x,y)所作的功，,见图图20-220-2.后页前页返回
前页 后页 返回 一． 第二型曲线积分的定义 在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力 F x y ( , ) 的作用沿平面曲线 L 从 点 A 移动到点 B, 求力 F x y ( , ) 所作的功,见图 20-2. 图 20 2 − O y x A M0 ( ) ( , ) x y M1 M2 M n−1 B M n ( ) F L P Q
为此在曲线 AB内插入n-1个分点M,Mz,Mn-1它们与 A=M,B=M,一起把有向曲线 AB分成 n个有向小曲线段 M;-,M,(i=1,2,,n).若记小曲线段 M-,M,的弧长为 △s;,则分割 T 的细度为II T II= max As,.1<i<n设力 F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x, y)与Q(x, y), 那么F(x,y) =(P(x, y), Q(x, y)后页返回前页
前页 后页 返回 AB n −1 1 2 1 , , , 为此在曲线 内插入 个分点 M M M n− 0 , 它们与 A M B M = = n 一起把有向曲线 AB 分成 n 个有向小曲线段 M M i n i i −1 ( 1,2, , ). = 若记小曲线 = 1 || || max . i i n T s 设力 F x y ( , ) 在 x y 轴和 轴方向的投影分别为 P x y Q x y ( , ) ( , ), 与 那么 F x y P x y Q x y ( , ) ( ( , ), ( , )). = M Mi i −1 , i 段 的弧长为 s 则分割 T 的细度为
又设小曲线段 M-,M,在 x轴和y轴上的投影分别为Ax, =x; -xi-1 与 Ay; = y;-yi-1, 其中(x, y,)与(x;-1, yi-1)分别为点 M,与 M-,的坐标.记LMiM, =(Ax, Ay,),于是力 F(x,y)在小曲线段 M-,M,上所作的功W, ~ F(5, n:) Lm-m, = P(5i, n;)Ax, +Q(5, n:)Ay;其中(S;,n;)为小曲线段 M-,M,上任一点.因而力F(x,Jy)沿曲线AB所作的功近似地等于后页返回前页
前页 后页 返回 M Mi i −1 又设小曲线段 在 x y 轴和 轴上的投影分别为 1 1 ( , ) i i x y − − 分别为点 M M i i 与 −1 的坐标. 记 − = 1 ( , ), M M i i i i L x y F x y ( , ) 于是力 在小曲线段 M Mi i −1 上所作的功 1 ( , ) ( , ) ( , ) , i i W F L P x Q y i i i M M i i i i i i − = + ( , ) i i 其中 为小曲线段 M Mi i −1 上任一点. 因而力 F x y ( , ) 沿曲线 AB 所作的功近似地等于 = − = − − − 1 1, i i i i i i x x x y y y 与 其中 ( , ) i i x y 与
W -Zw, ~ ZP(s, n,)Ax, + Zo(5, n,)Ay,.i-1i=1i=1当细度ⅡTI→0时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分定义1设函数P(x,)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L：AB上.对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段M-M,(i =1,2,..,n),返回前页后页
前页 后页 返回 = = = = + 1 1 1 ( , ) ( , ) . n n n i i i i i i i i i i W W P x Q y 当细度 || || 0 T → 时, 上式右边和式的极限就应该是 所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分. 定义1 设函数 P x y Q x y ( , ) ( , ) 与 定义在平面有向可 求长度曲线 L AB : 上. 对 L 的任一分割 T, 它把 L 分 成n个小曲线段 M M i n i i −1 ( 1,2, , ), =