右导数和左导数及导数的关系：定理5.2如果函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，则 f'(x)存在的充要条件是f(x)、f'(xo)都存在，且f*(xo) = f'(xo)前页后页返回
前页 后页 返回 定理5.2 如果函数 y =f (x) 在点 x0 的某个邻域内有 0 0 f x f x ( ) ( ). + − = 定义，则 ( ) ( ) 0 x0 f x 、 f + − ( ) x0 f 存在的充要条件是 都存在，且 右导数和左导数及导数的关系：
1-cosx, x≥0,例6 设f(x)=x<0.x,试讨论f(x)在x=0处的左、右导数和导数解 容易看到f(x)在x=0 处连续.又因[1-cosAx, Ax>0,f(0 +△r)- f(0)AxAr1,△x<0,所以1-cos△x=0,f*(0)= lim△xAx-→0t后页返回前页
前页 后页 返回 例6 设 1 cos , 0, ( ) , 0. x x f x x x − = 试讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数和导数. 解 容易看到 f (x) 在 x = 0 处连续. 又因 1 cos (0 ) (0) , 0, 1 , 0, x f x f x x x x − D + D − D = D D D 所以 0， 1 cos (0) lim 0 = D − D = → + D + x x f x
Axf'(0) = lim-lim 1=1.?4x→0-△x4x-→0-由于 f'(0) f'(O),故 f(x)在x=0 处不可导VE1-cos:x-0.5y=x0.5-0.501.5Ax后页返回前页
前页 后页 返回 D D 0 0 Δ (0) lim lim 1 1. x x Δ x f − − x − → → = = = 由于 f+ (0) f− (0)， 故 f (x) 在 x = 0 处不可导
二、导函数如果函数f在区间I上的每一点都可导（对于区间端点考虑相应的单侧导数，如左端点考虑右导数)则称f为区间「上的可导函数.此时，对I上的任意一点x都有f的一个导数f(x)与之对应，这就定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的dy导函数，简称导数，记作f(x)或战·即f(x+ 4x)- f(x), xe 1.f'(x)= lim(7)Ax4x-→0后页返回前页
前页 后页 返回 二、导函数 如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间 0 ( ) ( ) ( ) lim , . x f x x f x f x x I D x D → D + − = (7) . d d ( ) x y 导函数，简称导数, 记作 f x 或 即 定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的 则称 f 为区间 I 上的可导函数. 此时, 对 I 上的任 端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) , 意一点 x 都有 f 的一个导数 f x ( )0 与之对应, 这就
记作f(x),y,出或出,即I(x+4x)- f(x), xel.(7)f'(x)= limAx4x-0相应地，f（xo）也可表示为df(x)，，ddxx=Xof(xo）是f'(x）在x=xo处的函数值返回前页后页
前页 后页 返回 0 ( ) ( ) ( ) lim , . x f x x f x f x x I D x D → D + − = (7) d d ( ), , . d d y f f x y x x 记作 或 即 . d d , , d d ( ) 0 0 0 x x x x x x x y y x f x = = = 相应地， f ( x0 ) 也可表示为 ( ) x0 f 是 f x ( ) 在 x = x0 处的函数值