有限增量公式：y= f'(x,)Ax+0(4x)(4x -→0)设f(x)在点x可导，则Ay6= f'(xo)-Ar是当△x→0时的无穷小量，于是ε△x=0(△x)Ayo(△ x) = f'(x.)-Ar前页后页返回
前页 后页 返回 设 f (x) 在点 x0 可导，则 x y f x D D = ( 0 ) − 是当 Dx → 0 时的无穷小量，于是 D x = o(D x). 有限增量公式： 0 Δy f x x o x x = + → ( ) ( )( 0). Δ Δ Δ 0 (Δ ) ( ) y o f x x x D = − D
函数在点xo可导与连续的关系：定理5.1如果函数f在点x可导，则f在点xo连续例5 证明函数f(x)=x"D(x) 仅在x=0 处可导,其中D(x)是狄利克雷函数前页后页返回
前页 后页 返回 定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 连续. 其中 D(x) 是狄利克雷函数. 例5 证明函数 仅在 x = 0 处可导, 2 f x x D x ( ) ( ) = 函数在点 x0 可导与连续的关系：
证当x，+0 时,用归结原理容易证明f(x)在点xo不连续,由定理5.1,f(x)在点xs不可导当xo=0 时，因为 D(x)≤1，所以有f(x)- f(O) = lim xD(x) =0 f(0) = limx-0x-0x-0返回前页后页
前页 后页 返回 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导. lim ( ) 0 . 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 = = − − = → → xD x x f x f f x x 当 x0 = 0 时, 因为 D(x) 1， 所以有 证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0
左、右导数（单侧导数）定义2设函数 y=f(x)在点xo的某个右邻域[xo,x+8)上有定义，如果右极限Ay= lim 1(xg+Ax)-f(x)二lim△xAx→0+△xAx→0+存在，则称该极限为f(x)在点x的右导数，记作f(xo）．类似地可以定义左导数后页返回前页
前页 后页 返回 左、右导数 ( 单侧导数 ). x f x x f x x y x x D + D − = D D + → + D → D ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作 ( ) . 0 f x + 类似地可以定义左导数 . [ , ) x0 x0 + 上有定义，如果右极限 定义2 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某个右邻域
右导数和左导数统称为单侧导数f(xo +Ax)- f(xo)f'(xo)= limAx△x-→0(6)f(xo +Ax)- f(xo)f*(xo)= lim△x4x→0t返回前页后页
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim , (6) ( ) ( ) ( ) lim . x x f x x f x f x x f x x f x f x x − + − → + → + − = + − = Δ Δ Δ Δ Δ Δ 右导数和左导数统称为单侧导数