定义1设函数 y=f(x)在点 x的某邻域内有定义，如果极限f(x)- f(xo)(3)limx→xox-Xo存在，则称函数f 在点x,可导，该极限称为f 在xo的导数，记作f'(xo).令 Ar =x - xo, Ay= f (xo +Ar) -f(xo),f(x, +4x) - f (xo). (4)Ay=limf(xo)= lim4x4x-→0 4x4x-→0后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim (3) x x f x f x → x x − − 存在, 则称函数 f 在点 x0可导, 该极限称为 f 在 令 Dx = x – x0 , Dy = f (x0 +Dx) –f (x0 ), 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . (4) x x y f x x f x f x D D x x D D → → D D + − = = x0 的导数，记作 ( ). x0 f
导数的意义：f'(x）就是f(x)关于x在x处的变化率例1 求函数 y=x3 在 x=1处的导数，并求该曲线在点P(1,1)的切线方程解 因为 Ay= f(1+Ax)- f(1)=(1+Ax)3 -1=3Ar +3Ar2+Ar3返回前页后页
前页 后页 返回 例1 求函数 y = x 3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 (1 ) (1) (1 ) 1 3 因为 Dy = f + Dx − f = + Dx − 3 3 , 2 3 = Dx + Dx + Dx ( ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化率. x0 f 导数的意义：
所以Ay = lim (3+3Ax+ Ar*)=3.f'(1)= limAx-0 Ax Ax-0由此可知曲线 y=x3在点P(1,1)的切线斜率为k = f'(1)=3,于是所求切线方程为 y-1=3(x-1)即y = 3x - 2.后页返回前页
前页 后页 返回 (1) lim lim ( 3 3 ) 3 . 2 0 0 = + D + D = D D = D → D → x x x y f x x 由此可知曲线 y = x 3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为 k = f (1) = 3, 所以 于是所求切线方程为 y −1 = 3(x −1), 即 y = 3x − 2
例2 常量函数 f(x)=在任何一点 x的导数都为零.这是因为 △y=0，所以 f(x)=0.例3 证明函数 f(x)=|x|在 x=0 处不可导证 因为1, x>0,f(x)- f(0)x-0-1, x<0,当x→0 时它的极限不存在，所以f(x)在x=0处不可导后页返回前页
前页 后页 返回 例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为 例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为 ( ) (0) 1, 0, 0 1, 0, f x f x x x − = − − 当 x → 0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0 零. 这是因为 Dy 0，所以 f (x) 0. 处不可导
例4证明函数1x±0xsinxf(x)=0,x=0在x=0处不可导证因为当x→0时f(x)- f(0)品sinx-0x不存在极限，所以f在x=0 处不可导后页返回前页
前页 后页 返回 例4 证明函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = 在 x = 0 处不可导. ( ) (0) 1 sin 0 f x f x x − = − 不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导. 证 因为当 x → 0 时