解,点(ab,c)为 x-a)2十(y-b)2+(z 的不连续点 3202.证明:函数 f(x,y)=x 2xx,若x2+y2≠0; y 若x2+y 分别对于每一个变数x或y(当另一变数的值固定时 是连续的,但并非对这些变数的总体是连续的 证先定y=a≠0,则得x的函数 20x g(x)=f(x,a)={x2+a2 ≠0 即g(x)=x2402(-=x=+),它是处处有 定义的有理函数.又当y=0时,f(x,0)≡0,它 显然是连续的.于是,当变数y固定时,函数f(x,y) 对于变数x是连续的,同理可证,当变数x固定时 函数∫(x,y)对于变数y是连续的 作为二元函数,fxy)虽在除点(0,0)外的各点 均连续,但在点(0,0)不连续.事实上,当动点P(x,y) 沿射线y=kx趁于原点时,有 lim f(x,y) 2kx x0x2(1÷2)“1+k2 〔yx 付于不同的兵可得不同的极限值,从而知Inf(x,y) 不存在,因此,函数f(x,y)在原点不是二元连续 33
的 3203.证明:函缴 f(o,y) x+yx,若x2+y2≠0 0 若x2+y2=0 在点O(0,0)沿着过此点的每一射线 x=tco9a,y= tsina(0≤t+∞) 连续,即 lim f(cosa, sina)=fCo, 0); 但此函数在点(0,0)并非连续的 证当sina=0时,co8a=1或-1.于是,当!≠0 时, ficosa, tsing) t2·0 0 0,而f(0,0)=0, 故有limf( cosa, fina)=f(0,0)。 当sina≠0时,有 lim fIcosa, tsina)=li tscos2asina 1-0 cosa++2sin 2a tessina 4-0 *+sin-a 0+sin-a Fr lim f(cosa, tsina)=f(0, o) 其次,设动点P(,y)沿抛物线y=x2趋于原点, 得 lim f(x, y)=limi x)x4+x42 ≠∫(0,0) 因此,函数f(xy)在点(0,0)不连续
3204.证明:函数 fx,y)=xsin,若y≠0及f(x,0)=0 的不连续点的集合不是封闭的 证当y≠0时,函数f(x,y)在点(x,”)显见是 连续的,即f(x,y)在除去Ox轴以外的一切点均连续 又因f(x,y)一f(0,0)=|∫(x,y)≤|x,故知 f(x,y)在原点也是连续的 考虑当x≠0时,对于点〔x0,0),由于极限 limf(Mo, y)=lim pain 不存在,故知f(x,y)在点(x,0)不连续 这样,我们证明了,函数f(x,y)的全部不连续 点为Ox轴上除去原点外的一切点,显然,原点是不连 续点集合的一个聚点,但它本身却不是f(x,y)的不 连续点。因此,f(x,y)的不连续点的集合不是封闭 的 3205.证明:若函数∫(x,y)在某域G内对变数x是连续的, 而关于x对变数y是一致连续的,则此函数在所考虑 的城内是连续的 证任意固定一点P。〔xo,y)∈G 由于fx,y)关于x对变数y一致连续,故对任 给的e≥0,存在81=81(e)0,使当(x,y)∈G, (x,y)∈G且|y!-y|=8时,就有 lf(x,y)-f(x,y")-=2
又因f(x,y)在点(x0,yo)关于变数x是连续的, 故对上述的e,存在δ2>0,使当!x-xl←82时, 就有 f(x,y。)-f(xo,y0) e 取08≤min{81,B2!,并便点(x,y)的δ邻域 全部包含在区域G内,则当点P(x,y)属于点(x0,y0) 的d邻域,即|PP。|<时 D-a 8≤δ2, 从而有 I(x,y)-f(x,y)≤Jf(x,y)-∫(x,y。) +If(x, yo)-f(xo, yo) 十 因此,f(xy)在点F连续。由P的任意性知,函数 f(x,y)在G内是连续的 3206.证明:若在某域G内函数f(x,y)对变数x是连续的, 并满足对变数y的里普什兹条件,即 f(x,y1)-f(x,y")|≤L|y′-y" 式中(x,y1)∈G,(x,y")∈G而L为常数,则此函数在 已知域内是连续的。 证由于f(x,y)在G内满足对y的里普什兹条件, 知f(x,y)在G内关于x对变数y是一致连续的 因此,由3205题的结果,即知f(x,y)在G内是连 续的 3207·证明:若函数∫(x,y)分别地对每一个变数x和y是 35
续的对于其中的个悬单调的,此函数对两个 变数的总体是连续的(尤格定理) 证不妨设∫(xy)关于x是单调的, 设(x0,y0)为函数∫(x,y)的定义域G内的任 点。由于f(x,y)关于x连线,故对任给的>0,存 在810〔假定B1足够小,使我们所考虑的点都落 在G内),使当 ≤6,时,就有 f(x,y)一∫( 8 对于点(x。-81,y)及〔x+81,y0),由于f(x,y) 关于y连续,故对上述的e,存在⑧2>0(也要求 δ2足够小,使所考虑的点落在G内),使当y-y 62时,就有 ∫(xo-1,y)-f(x-6,yo) 及 If(xo+8,, y)-f(o+d1, yo) e 令6=min{1,62,则当i4x8,|dy≤时, 由于∫(x,y)关于x单调,故有 ∫(x+x,ya十∠y)-f(x,yo) ≤ma%{∫(xo+6,y十团y)-∫(x,y0), If(xo-d, o+Ay)-f(o, yo)IS 但是 f(x土ξ1,y+4y)-f(x0,y0) ≤|∫(xo±8 4y)-f(x±81,y0) (x。±δ y 36