n f(x)-n!fo,i,",xnI 因此有R"()=f(5)-n!「x,x1,…,xn=0 (n) 即得∫x,x,,Xn= (2) n! 5∈ 差商和导数的关系式 结论 若f(x)为n阶多项式,则由上式可知,其n阶差商为一常数
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n R x f x P x n n = − 0 1 ( )( ) ! [ , , , ] n n = − f x n f x x x 因此有 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ! [ , , , ] n n R f n f x x x n n = − = 即得 0 1 ( )( ) [ , , , ] , . ! n n f f x x x J n = ——差商和导数的关系式 结论： 若f(x)为n阶多项式，则由上式可知，其n阶差商为一常数
∫(2) 09199~n 5∈J n 若在上述n+1个节点x0y…,xn的基础上再增加节点x, 所界插值区间记为,则同理可得 (n+1) f1x0,x1,…,xn,x= (2) (n+1)!,5∈I
若在上述n+1个节点x0 ,...,xn的基础上再增加节点x， 所界插值区间记为I，则同理可得 1 0 1 1 ( )( ) [ , , , , ] , . ( )! n n f f x x x x I n + = + 0 1 ( )( ) [ , , , ] , . ! n n f f x x x J n =
(2)对余式的估计之方法一 Rn(x)=(x-x0(x-x1)…(x-xn)f[x,x1,…,xn, ft(s 09155 e a ∈I n+ (n+1) r(x)=(x-xo(x-x) .(x-xu) 记为(x)(m+1 fun+(5) n+1 (n+1) 若+( M n,则R,(x)≤xn (n+1) n+I
（2）对余式的估计之方法一 0 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] R x x x x x x x f x x x x n n n = − − − 1 0 1 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )! n n n f R x x x x x x x n + = − − − + 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )! n n f x n + + = + 1 ( ) n x 记为 + 若 1 1 ( )( ) , n n f M + + 则 1 1 1 ( ) ( ) ( )! n n n M R x x n + + + 1 0 1 1 ( )( ) [ , , , , ] , . ( )! n n f f x x x x I n + = +
令]=t(t-1)…(t-(n-1) 100 图形特点: 振幅两头大中间小; x在插值区间外(外插)时,振幅非常大,即外插误差大
-1 0 1 2 3 4 5 6 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 t t[6] 图形特点： • 振幅两头大中间小； • x在插值区间外（外插）时，振幅非常大，即外插误差大。 令t n t t t n [ ] ( ) ( ( )) = − − − 1 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 t t[7]
(2)对余式的估计之方法二:事后估计法 用P(x)表示以节点x,x,…,xn建立的插值公式, 另取一个节点xn+,并用P(x)表示以节点x,…,x2,x 建立的插值公式,相应的余式为 R (x)=f(x)-P,(r) fm(4) =(x-x)x-x)…(x-xn)(n+1) R0(x)=f(x)-P(x) (n+1) (x-x1)…(x-xn)(x-xn+) (n+1)!
（2）对余式的估计之方法二：事后估计法 用 P x n ( ) 表示以节点 x x x 0 1 , , , n 建立的插值公式， 另取一个节点 并用 表示以节点 建立的插值公式，相应的余式为 1 , n x + 1 1 , , , n n x x x + ( ) 1 ( ) P x n ( ) ( ) ( ) R x f x P x n n = − ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) R x f x P x n n = − 1 1 0 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )! n n f x x x x x x n + = − − − + 1 2 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )! n n n f x x x x x x n + = − − − + +