2、牛顿基本差商公式的建立 设x为插值区间内的一个节点,则有 fIxo xI f(r-f(o) fIx,xo,x fxo, x]-fIx,,xol X-x fIx,xo,]-flx2, x,,rol n¨”1:,/Jxn;…,x,x-fxn, 190
2、牛顿基本差商公式的建立 设x为插值区间内的一个节点，则有 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 [ , , ] [ , [ , ] [ ( ) , [ , ] , [ , , ] , [ , , [ , , , , ] , ] [ , , , ] [ , , , , ] ] ( ) , ] n n n f x x x f x x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x f x x x f x x f x x x x x x − − = − − = − − = − − = −
解出f(x),得 f(x)=f(x0) n阶多项式Pn(x) +(x-xo)fxi,xo 牛顿基本差商公式 +(x-x0)(x-x1)fx2,x1,x +(x-x0)(x-x1)(x-X2) 2)13,xX2,x1,x 90 十 +(x-xo(x-x).(x-xu-flx +(x-xo(x-x).(x-xnflx 19~0 余式Rn(x)
n阶多项式 ——牛顿基本差商公式 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ( )( )( ) [ , , , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] ( )( ) ( ) [ , , , , ( ) ] n n n n f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f f x x x x x − = + − + − − + − − − + + − − − + − − − 解出f(x)，得 ( ) P x n ( ) ——余式 R x n
P(x)=f(x)+(x-x0)x,xl+(x-x)(x-x1)/x2,x,x0 +…+(x-x)(x-x)…(x-xn)/1x,…,x,x x fIxi l fuxi xi+l f[;, xi+1,, x0少(。fx,x x f(x,) f 9 2/(x2)x,x 9~29 fIx f(x3) fIx,,x
i x 0 x 1 x 2 x 3 x [ ]i f x0 f x( )1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) 1 [ , ] i i f x x + 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 1 2 3 [ , , , ] i i i i f x x x x + + + 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x − = + − + − − + + − − −
例52已知x=14,9的平方根为12,3,利用牛顿基本差商 公式求7的近似值。 解: fx, xiiI i-i+19i+2 =0.33333 4 0.2-0.33333 42 3-2 9-1-001667 0.2 9-4 从而得二阶牛顿基本差商公式为 P2(x)=1+0.33331)-0.01667(x-1)(x-4) 因此计算得7的近似值为P(7)=26999
例5.2 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求 的近似值。 i x 1 4 9 i x 1 2 3 1 [ , ] i i f x x + 2 1 0 33333 4 1 . − = − 3 2 0 2 9 4 . − = − 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 2 0 33333 0 01667 9 1 . . . − = − − 7 解： 从而得二阶牛顿基本差商公式为 2 P x x x x ( ) . ( ) . ( )( ) = + − − − − 1 0 33333 1 0 01667 1 4 2 因此计算得 7 的近似值为 P ( ) . . 7 2 69992 =
3、牛顿基本差商公式的余式估计 (1)差商和导数的关系 f(r=P,(x)+R,(x) =f(x0)+(x-X)fx0,x1+… +(x-x0)(x-x1)…(x-xn=)f1x0, +(x-x0)(x-x1)…(x-xn)fx0,x1,…,xn2,x 设J表示由节点x0灬…,xn中的最小最大值界定的插值区间, R, (x=(x 0( )…(x-xn)fx 09199 在区间J上至少有n+1个零点,由罗尔定理归纳可知 R(x)在区间J上至少有个零点(设为),而
3、牛顿基本差商公式的余式估计 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] ( ) [ , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] n n n n n n P x f x x x f x x x x x x x R x x x x x x x f x x f x x x x x x f x − + − + + − − = + = + − − − − 设J表示由节点x0 ,...,xn中的最小最大值界定的插值区间， 0 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] R x x x x x x x f x x x x n n n = − − − 在区间J上至少有n+1个零点，由罗尔定理归纳可知， ( )( ) n R x n 在区间J上至少有1个零点（设为ξ），而 （1）差商和导数的关系