§4线性多步法My当时,为隐式公 用若干节点处的式;B则为显式公式 y(x;)。其通式可写为: yn=any2+ay1+…+yx+M(BJm1+月+月+…+Bf) >基于数值积分的构造法 将y=f(x,y)在[x;,xl上积分,得到 y(xi+1)-V(xi )=.f(x, y(x)dx 只要近似地算出右边的积分lk≈」f(x,(x),则可通 过y=y1+k近似y(x)。而选用不同近似式k,可得到不 同的计算公式
§4 线性多步法 /* Multistep Method */ 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似 y(xi+1)。 ... ( ... ) i 1 0 i 1 i 1 k i k 1 i 1 0 i 1 i 1 k i k y y y y h f f f f + - - - + - - =a +a + +a + b + b + b + + b 其通式可写为： ( , ) j j j f = f x y 当 b-10 时，为隐式公 式; b-1=0 则为显式公式。 ➢ 基于数值积分的构造法 将 y = f (x, y) 在 [xi , xi+1 ] 上积分，得到 + + - = 1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 i i x x y xi y xi f x y x dx 只要近似地算出右边的积分 ，则可通 过 近似y(xi+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不 同的计算公式。 + 1 ( , ( )) i i x x I k f x y x dx i i k y = y + I +1
§4 Multistep method a亚当姆斯显式公式/ Adams explicit formulae 利用k+1个节点上的被积函数值f1,f1,…,f构造k阶牛顿 后插多项式N(x2+th),t∈[0,1,有 f(x,y(x)dx=N(x, +th)hdt+R,(x;+th)hdt P=男+小N4+2/显式计算公式eon 局部截断误差为:R=y(x1)-yn=hfR(x)+t塘余顶 例:k=1时有M(x2+th)=f+tV=f+(1-f1) h =y++(f-1)=y+(3f-fa) R d∫(x,y(5)1 2! th(t+1)ht=;h3y"(51)
§4 Multistep Method 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */ 利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿 后插多项式 , 有 i i i k f f f - - , , ... , 1 N (x + th) , t [0, 1] k i = + + + + 1 0 1 0 ( , ( )) ( ) ( ) 1 f x y x dx N x th hdt R x th hdt k i x x k i i i Newton 插值余项 y y h N x th dt i i k i ( ) 1 0 1 = + + + /* 显式计算公式 */ 局部截断误差为： = + - + = + 1 0 1 1 R y(x ) y h R (x th)dt i i i k i 例：k=1 时有 ( ) ( ) 1 i + = i + i = i + i - i-1 N x th f t f f t f f + = + + - - = + - - 1 0 1 1 1 (3 ) 2 [ ( )] i i i i i i i i f f h y y h f t f f dt y th t h dt dx d f y R h x x i ( 1) 2! 1 ( , ( )) 1 0 2 2 = + ( ) 12 5 3 i = h y
4 Multistep method 注:一般有R=B+y4+2(5),其中B与y1计算公式中 f,…,k各项的系数均可查表得到。 k f f f f B 1 Misprint 12 23 16 on p. 204 12 55 59 24 24 24 24 720 纔常用的是k=3的阶亚当姆斯显式公式 h y社1=y+(55f-591+372-9f3)
§4 Multistep Method 注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , …, fi-k 各项的系数均可查表得到 。 ( ) 2 ( 2) i k k i k R B h y + + = 0 1 1 2 3 k 2 1 2 3 12 23 24 55 2 1 - 12 16 - 24 59 - 12 5 24 37 24 9 - 12 5 8 3 720 251 fi fi-1 fi-2 fi-3 … Bk … … … … … … … Misprint on p.204 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式 (55 59 37 9 ) 24 i+1 = i + i - i-1 + i-2 - i-3 f f f f h y y
§4 Multistep Method a亚当姆斯隐式公式/ Adams implicit formulae 利用k+1个节点上的被积函数值f1,f,…,构造k阶 牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列 隐式公式,并有R2=B442y+2(mn),其中B与fFH,,…, k+1的系数亦可查表得到。 小于Bk 12 8 12 12 12 24 19 19 24 24 24 24 720 较同阶显 纔常用的是k=3的阶亚当姆斯隐式公式 式稳定 y社1=y+(9f++19-51+f2)
§4 Multistep Method 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */ 利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , …, fi-k+1构造 k 阶 牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列 隐式公式，并有 ，其中 与 fi+1 , fi , …, fi-k+1 的系数亦可查表得到。 ( ) 2 ( 2) i k k i k R B h y + + = ~ Bk ~ 0 1 1 2 3 k 2 1 - 2 1 12 5 24 9 2 1 12 8 24 19 12 1 - 24 5 - 24 1 12 1 - 24 1 - 720 19 - fi+1 fi fi-1 fi-2 … Bk … … … … … … … ~ 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式 (9 19 5 ) 24 i+1 = i + i+1 + i - i-1 + i-2 f f f f h y y 小于Bk 较同阶显 式稳定
§4 Multistep Method 亚当姆斯预测校正系统 / Adams predictor-correp Predicted意:三步所用公 Spl:用Rnge-m法计、 value Pil AC的精度必须相同。 Se2:用dms显式计算预测值; 通常用经典 Runge- Kuta法配合4阶 Se3:用同阶 Adams隐式计算校正值 Adam公式。 251 4阶 adams显式公式的截断误差为y(x+)- Hey! look at the local truncation error of tRo(5r 4阶A隐成公武的截断糕为9=1的(m) 当h充分 时世峡以天发时: 251 Qy(+1)≈+1+(y 270 i+1 外推 fied final y(x+1)≈y+1 (v+1 extrapalategn+l 270 i+1
§4 Multistep Method 亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */ Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值； Step 2: 用Adams 显式计算预测值； Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。 注意：三步所用公 式的精度必须相同。 通常用经典RungeKutta 法配合4阶 Adams 公式。 Hey! Look at the local truncation error of the explicit and implicit Adams methods: and Don’t you think there’s something you can do? ( ) 720 251 5 (5) i h y ( ) 720 19 5 (5) i 4阶Adams隐式公式的截断误差为 - h y ( ) 720 19 ( ) 5 (5) i 1 i 1 i y x + - y + = - h y 4阶Adams显式公式的截断误差为 ( ) 720 251 ( ) 5 (5) i 1 i 1 i y x + - y + = h y 当 h 充分小时，可近似认为i i，则： 19 251 ( ) ( ) 1 1 1 1 - - - + + + + i i i i y x y y x y ( ) 270 251 ( ) i+1 i+1 + i+1 - i+1 y x y y y ( ) 270 19 ( ) i+1 i+1 - i+1 - i+1 y x y y y Predicted value pi+1 Modified value mi+1 Corrected value ci+1 Modified final value yi+1 外推技术 /* extrapolation */