西安交通大学博士学位论文 因为其在描述随机过程波动性上的优势,机制转换方法被广泛应用于多期投资决 策选择问题.文献②4在马氏机制转换框架下考虑了多期MV问题,并通过动态规划方 法得到了解析最优解.文献7考虑了基于马氏机制转换和指数效用函数的动态最优投 资消费问题文献凹考虑了含有破产约束的马氏机制转换多期均值-方差模型,并获得 了解析的最优投资策略.文献将机制转换思想应用于国际资产分配,文献岡则用机 制转换来描述均衡模型中的消费增长.文献β的2等的一系列工作将机制转换与因子模 型相结合,并应用于求解长期投资选择问题,得到远超过单个机制的平均收益,从实际 应用角度验证了引入机制转换对更好的投资选择的帮助. 从以上论述不难看出,在应用统计方法处理多期投资决策问题时,其核心在于统计 参数和统计模型的选择,以及期与期统计参数之间关系的假定.但是已有文献的主流做 法依然是在设定状态下假定这些统计参数已知,这与真实市场环境仍有较大偏差.因 此,如何描述期望、方差等统计参数在相邻投资期之间的变化,以便给出能精确刻画证 券随杋收益随投资期变化的时变模式,且使得这样的描述能保证最终所得最优投资策 略满足时间相容性等特性就成为一个值得深入探讨的重要论题.此外,当我们将机制转 换等复杂统计方法应用于多阶段投资组合选择问题时,如何有效地求解这些复杂的优 化模型也是研究的一个热点和难点 1.3.3分布式鲁棒方法 在传统的投资组合选择模型中,假设随机损失(收益)的概率分布是已知的,只有 随机损失的具体实现值未知.然而,在某些实际情况中,人们并不能精确获知随机损失 的确切分布.针对这种情况,可使用分布式鲁棒优化技术来度量分布的不确定性 关于分布式鲁棒优化的早期研究包括文献.近期,分布式鲁棒优化技术更是 被广泛应用于构造最坏情况风险度量和鲁棒投资组合选择模型.文献冏使用最坏情况 鲁棒方法来估计方差的不确定性,进而证明极小化最坏情况方差的优化问题等价于 个半定规划问题.文献定义了最坏情况VaR,并发现在由一、二阶矩信息定义的不 确定集下,最坏情况VaR约束等价于一个二阶锥约束.文献阿考虑了给定一、二阶矩 的最坏情况下偏矩和最坏情况条件VaR(VaR),并得出了他们的紧的界.文献例基 于混合分布构建了基于最坏情况CVaR度量的鲁棒投资组合选择模型,并导出了这些 鲁棒优化问题的线性规划或二阶锥规划等价形式 在多期风险度量和多阶段投资组合选择问题中,我们也很有必要通过分布式鲁棒 技术来度量分布过程的不确定性.文献醐考虑了一类多期鲁棒投资组合优化问题, 并使用了确定性等价控制的方法和动态规划方法剛来求解.确定性等价控制方法的核 心在于用随机损失的期望值来代替优化模型中的随机变量,从而得到确定性等价最优 解.文献间进一步改进了这些方法,不再使用确定性等价控制的方法,其被称之为可调 整鲁棒( adjustable robust)优化方法.这种方法可以使得投资者能够通过动态规划技 术有效地求解多期鲁棒优化问题岡.文献阿应用可调整鲁棒优化方法求解了一个基
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1绪论 于下偏矩风险度量的多期鲁棒投资组合选择问题.文献3将鲁棒优化和马氏决策过 程相结合,提出了一些新的多期鲁棒优化问题模型和鲁棒动态规划新解法.感兴趣的读 者可以参考文献冏来了解更多的多期鲁棒优化问题的模型和算法. 对任意的分布式鲁棒优化问题,不确定集的选择始终是一个核心问题.大多数分布 式鲁棒优化文献均采用已知均值和方差信息的不确定集5.进一步,为了同时考虑 分布和矩信息的不确定性,文献考虑了均值和协方差被一个矩形约束控制的不确定 集.文献考虑了均值的椭球型不确定性和协方差的正半定型不确定性,作者们进而 考虑了一个期望效用型鲁棒优化问题,并说明鲁棒最优解的表现会以较高概率成为 个分布集合中的最优者.文献提出了一个均值方差未知的不确定集,并将其应用于 概率约束问题中.而文献阏S则通过混合分布来构建不确定集.文献河则使用分布 间的概率度量距离来定义不确定集,并导出了一系列风险度量的最坏情况鲁棒估计.但 是,在多期风险度量和多阶段投资组合选择问题的研究中,目前还没有能有效考虑矩信 息未知的结果,这主要是因为求解上的复杂性同时,正如文献四所指出,基于概率度 量距离的多期鲁棒优化问题非常难以求解并应用于实际问题. 从如上的文献综述,我们可以得出一个好的不确定集应该具有如下两个性质:首 先,为了更好地反映分布的不确定性,不确定集应该包含我们能获取的尽可能多的信 息;其次,不确定集应该具有某种良好的结构,以便使相应的鲁棒优化问题,特别是多期 鲁棒优化问题可有效求解 14本文的主要工作和组织 综合考虑现有模型的优点和缺点,我们认为建立有效和实用的多期风险度量和多 阶段投资组合选择模型的三个关键因素在于:所基于的动态信息框架要能够充分刻画 复杂多变的市场环境;所设计的多期风险度量需要具有的良好数学和金融性质;所构建 的多阶段投资组合选择模型要易于求解. 因此,本文旨在,总结归纳已有的多期风险度量的形式和性质,然后使用机制转换 和鲁棒优化技术等来描述复杂的金融环境,提出若干新型的基于机制转换和鲁棒估计 的多期风险度量,进而应用于多阶段投资组合选择模型中,检验所提出的新型多期风险 度量的实用性和相应多阶段投资组合选择模型的鲁棒性.具体地,本文主要的研究内容 如下 (1)首先,作为构建复杂环境下新的多期风险度量的基础,我们将在第2章对多期 风险度量的性质和形式做简要的介绍.我们简要介绍多期风险度量及其基本性质,同时 解释这些数学性质背后的金融经济背景.特别是,我们将着重介绍多期风险度量特有 的一个重要性质:时间相容性,以及其与最优投资组合的时间相容性之间的联系.最后 我们将多期风险度量按其构造方式分为三类:终期财富风险度量,可加型风险度量,和 递归型风险度量.我们分别给出这三种风险度量在文献中常见的例子,并分析其数学性 质,特别是时间相容性.进而,我们导出这三类多期风险度量的一般形式,并基于一般
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西安交通大学博士学位论文 形式讨论这三类多期风险度量之间的关系 (2)考虑到市场环境的多变性,我们将机制转换的概念与因子模型和时间序列模型 相结合,构建了一个新的联合信息框架.这里,信息过程由两部分组成:描述机制转换 的有限状态马氏随机过程和依赖于机制转换的自回归、多因子混合模型.我们假设各 期自回归模型和多因子模型的条件联合残差项服从一个多元t分布.进而,考虑到在两 期不同杋制之间风险的动态关系,我们构建了基于联合信息框架的递归风险度量.与传 统递归风险度量不同的是,在每一期,我们提出的新型递归风险度量其实包含两层:首 先度量每个机制下的子风险,然后再将子风险组合起来.而当机制数为一时,则等价于 传统的递归风险度量.我们证明这样的基于联合信息框架的递归风险度量满足单调性, 凸性和时间相容性.当联合信息框架和基于机制转换的递归风险度量应用于多阶段投 资组合选择问题时,我们以CVaR为例说明了如何有效转换和求解该多阶段投资组合 选择问题.一系列的实证硏究表明了新框架与多阶段投资组合选择模型的优越性.这部 分工作总结在第3章 (3)由文献综述可知,考虑多期随机损失分布不确定性的多期鲁棒风险度量往往估 计起来比较困难,而相应的多期鲁棒投资组合选择问题也难以求解,同时对多期鲁棒风 险度量的时间相容性也较少有研究.因此,在第4章,我们基于可分期望条件函数提出 了一种新型的多期鲁棒风险度量:多期最坏情况风险度量.我们证明多期最坏情况风 险度量是一致的和时间相容的.然后,我们在每期使用 阶矩给定的动态不确定集 合,并通过运用动态规划、参数优化、一阶最优性条件等优化技巧,我们解析的求出了 相应的多期鲁棒投资组合选择模型的最优投资组合.最后,我们与已有的多阶段投资组 合选择问题的解析解进行对比,检验多期最坏情况风险度量和相应的多期鲁棒投资组 合选择模型的优越性. (4)相较矩信息已知的不确定集,考虑不确定集中矩信息未知的分布式鲁棒优化问 题可以帮助我们在分布信息未知的情况下做出更鲁棒的决策,但是,矩信息已知的多期 鲁棒投资组合选择问题却因为其求解复杂性而少有硏究.基于现实需要和求解难度的 均衡考虑,我们通过组合文献中的矩信息约束,提出了两个新的均值向量和协方 差矩阵均未知的不确定集合.然后,我们分别将这两个矩信息未知的不确定集合应用于 分布式鲁棒均值-CVaR投资组合选择问题,并分别得到了其解析最优解或将其转化为 能有效求解的二阶锥规划.进而,我们分别在递归型风险度量和可加型风险度量的框架 下,讨论矩信息未知的多期鲁棒投资组合选择问题,并分别求得了其解析最优解或找到 了有效的求解方法.最后,我们通过实证研究来检验新模型的实用性和有效性.这部分 工作分别在第5章和第6章给出 5)上述几章中所提出的不确定集虽然能刻画分布或矩信息的不确定性,但是,就 如同文献中所有多期鲁棒优化问题一样,我们仍需假设不同期间的不确定集是独立的. 而为了进一步刻画市场信息不完备且市场环境动态变化的情况,我们将分布式鲁棒技 术与机制转换模型相结合,提出了基于机制转换的动态不确定集,并构建了两种形式的
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1绪论 基于机制转换的多期鲁棒风险度量.我们进而枃建了相应的多期鲁棒投资组合选择模 型,并运用情景树技术和确定性等价控制方法设计了有效的求解方法.实证研究检验了 在多期鲁棒风险度量中考虑机制转换的实用性和必要性.第7章描述了这方面的具体 研究内容. 6)最后,针对一类设定投资目标的投资人,我们考虑市场随机环境对其投资目标 实现期限的影响,提出了概率目标首达时的概念,并定义了目标达成型风险度量.与已 有收益目标达成型风险度量不同的是,我们使用一个概率约束来刻画投资人的投资目 标.进而,我们将因复杂市场环境的波动性而导致目标完成的延迟所带来的时间成本作 为风险的度量,并验证了其满足一些数学和金融性质,特别是弱时间相容性.在一定程 度上,这种新型多期风险度量可以看作是VaR在动态市场环境下的推广·为了更有效 的检验模型,我们将其应用于投资组合选择问题,通过用切比雪夫不等式近似后,我们 将投资组合选择问题转换为均值可递归的辅助问题,运用动态规划方法求得了解析最 优解.最后,我们通过数值实验说明在具体的实际投资问题中,如何应用我们的求解方 法找到最优概率目标首达时,并与经典的多期MV问题进行了比较.这部分研究内容在 第8章中给出 第9章对全文工作进行了总结,并就可进一步探讨的问题展开了论述
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西安交通大学博士学位论文 2多期风险度量 本章,我们将简要介绍多期风险度量的性质和典型形式.我们首先给出单期风险度 量以及多期风险度量的定义,并由此导出刻画多阶段投资组合选择问题的一般随机优 化模型.进而,我们讨论多期风险度量的基本数学性质,同时解释这些数学性质背后的 金融经济背景.特别地,我们将着重介绍多期风险度量特有的一个重要性质,时间相容 性,以及其与最优投资组合的时间相容性之间的联系.进而,我们将多期风险度量按其 构造方式分为三类:终期财富风险度量,可加型风险度量和递归型风险度量.我们分别 给出在文献中常见的这三种风险度量的例子,并分析其性质,特别是时间相容性.最后 我们给出这三类多期风险度量的一般形式,并基于一般形式讨论这三类多期风险度量 之间的关系 2.1风险度量与多阶段投资组合选择 在单期投资问题中,我们考虑一个损失函数X=f(u,5),它与投资决策u∈ls Rn和随机状态ξ相关.这里是可行投资决策的集合,随机状态ξ定义在某个概率空 间(3,多,P)上.我们假设对任意的u∈l,有E<+∞ 单期风险度量可以被看作一个相对于概率测度P的可测泛函p(X):Ln(2,多,P)→ R,这里1≤p<∞.典型的单期风险度量包括条件在险价值( Conditional value-at-risk CVar) CVaR(X)= inf U+a EPlX-U]+, 这里a∈(0,1]是某个给定的损失容忍概率(比如10%或5.0%) 般来说,一个合理的单期风险度量应该满足一些必要的数学性质.文献2提出 了单期风险度量的如下性质 (A1)次可加性( sub-additivity):对任意的X,Y∈L2(92,3,P),都有p(X+Y)≤ p(X)+p(Y)成立 (A2)单调性( monotonicity):X≥Y隐含p(X)≥p(Y)成立 (A3)正齐次性( positive homogeneity):对任意正常数A∈R,有p(AX)=M(X)成立 (A4)平移不变性( translation invariance):对任意常数a∈R,有p(X+a)=p(X)+a 成立 当一个风险度量同时满足这四条性质时,则称其为一致性风险度量( coherent risk measure).不难验证CVaR是一个一致性风险度量 个多期风险度量通常被定义在一个概率空间(,F,P)上,其中F表示所有子 集的集合,P是一个概率测度,对任意的事件B∈F,其概率为P(B).投资区间[0
‹SœåÆƨƆÿ© 2 ıœºx›˛ Ÿ, ·ÇÚ{á0 ıœºx›˛5ü⁄;./™. ·Çƒkâ—¸œºx› ˛±9ıœºx›˛½¬, ødd—èxı „›]|‹¿JØKòÑëÅ` z .. ? , ·Ç?ÿıœºx›˛ƒ ÍÆ5ü, ”û)º˘ ÍÆ5ü 7K²Lµ. AO/, ·ÇÚX0 ıœºx›˛Akòáá5ü, ûmÉN 5, ±9ŸÜÅ`›]|‹ûmÉN5ÉmÈX. ? , ·ÇÚıœºx›˛UŸ Eꙩèna: ™œ„Lºx›˛, å\.ºx›˛⁄48.ºx›˛. ·Ç©O â—3©z•~Ñ˘n´ºx›˛~f, ø©¤Ÿ5ü, AO¥ûmÉN5. Å, ·Çâ—˘naıœºx›˛òÑ/™, øƒuòÑ/™?ÿ˘naıœºx›˛ Ém'X. 2.1 ºx›˛Üı „›]|‹¿J 3¸œ›]ØK•, ·ÇƒòáõîºÍ X = f(u, ξ), ßÜ›]˚¸ u ∈ U ⊆ R n ⁄ëÅG ξ É'. ˘p U ¥å1›]˚¸8‹, ëÅG ξ ½¬3,áV«ò m (Ω, F, P) ˛. ·ÇbÈ?ø u ∈ U, k E[|X|] < +∞. ¸œºx›˛å±wäòáÉÈuV«ˇ›P åˇçºρ(X) : Lp(Ω, F, P) → R, ˘p 1 ≤ p < ∞. ;.¸œºx›˛ù)^á3xdä (Conditional value-at-risk, CVaR): CVaR(X) = inf υ {υ + α −1EP [ X − υ ]+}, ˘p α ∈ (0, 1] ¥,áâ½õîN=V« ('X 1.0% ½ 5.0%). òÑ5`, òá‹n¸œºx›˛AT˜vò 7áÍÆ5ü. ©z[72] J— ¸œºx›˛Xe5ü: (A1) gå\5 (sub-additivity): È?ø X, Y ∈ Lp(Ω, F, P), —k ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ) §·, (A2) ¸N5 (monotonicity): X ≥ Y ¤¹ ρ(X) ≥ ρ(Y ) §·, (A3) ‡g5 (positive homogeneity): È?ø~Í λ ∈ R, k ρ(λX) = λρ(X) §·, (A4) ²£ÿC5 (translation invariance): È?ø~Í a ∈ R, k ρ(X + a) = ρ(X) + a §·. òáºx›˛”û˜v˘o^5üû, K°Ÿèòó5ºx›˛ (coherent risk measure). ÿJy CVaR ¥òáòó5ºx›˛. òáıœºx›˛œ~½¬3òáV«òm (Ω, F, P) ˛, Ÿ• F L´§kf 88‹, P ¥òáV«ˇ›, È?øØá B ∈ F, ŸV«è P(B). ›]´m [0, T] 10