1绪论 1绪论 1.1研究背景 熟知,一切金融活动的本质是为了财富的基本保值或快速増值,而金融活动的基本 手段为投资运作.因此,关于最优投资策略选择的研究一直都是现代投资学和运筹学的 重点研究领域随着静态投资组合选择理论、算法与应用研究的日趋完善,关于多期最 优投资组合选择的研究就越来越受到金融学者和应用数学工作者的关注,并迅速成为 当前的研究热点.尤其在我国,受近几年证券市场不景气的影响,以往带有投机色彩的 短期交易策略很难再发挥作用,运用定量化风险度量的方法来规避极端风险和运用多 阶段投资组合优化模型来指导投资以期获取稳健收益就已成为投资者的首选.把金融 优化的理论与方法应用到金融决策的实践中去已经成为金融业界和学术界的共识,量 化投资方法现在基金公司、投资研发部门、甚至是个体投资者中现已成为时下关注的 热门话题.然而,随着金融市场全球化的发展,现实的市场环境越来越复杂,有时会出现 极端的金融危机或者市场环境的剧烈变化.由于这些原因,投资者在确定投资策略时往 往不可能得到完全的市场信息.那么,如何针对国内外金融市场的真实环境、投资者所 获取信息的完备程度等情况,综合运用现代投资学、随机分析方法和高层次的运筹学 方法,在复杂的市场环境下,构建能刻画市场环境动态性和复杂性的多期风险度量,和 能获取稳定收益且规避极端风险的投资组合选择模型就成为亟待解决的问题,也是具 有重要理论价值和学术意义的研究论题 依据多阶段投资组合选择问题的特征,我们认为影响其建模、求解的关键因素有 三个:首先是对随机投资环境演变的描述,即如何用数学语言描述未来随机损失(收益) 流的变化;其次是针对不同投资取向或掌握不同程度市场信息的投资人,如何构造恰当 的风险度量函数来刻画投资者的真实偏好;第三是如何构建合理的多阶段投资组合选 择模型,使得该模型既能针对复杂的市场环境合理刻画投资者的投资心理,又具有某种 较好的形式使其可存在有效求解的方法.以下,我们首先简要介绍多期风险度量的发展 现状,然后按照对复杂市场环境的不同描述方法,我们分三大类来综述对多阶段投资组 合选择问题的建模与求解的研究现状. 12多期风险度量 由于虛拟经济的快速发展,证券市场的规模越来越大、波动越来越频繁,这使得金 融风险的度量和管理变得尤为重要.对于多阶段投资组合选择问题,相应的风险度量的 构造更是影响所建模型的合理性和可求解性、所得投资决策的实用性与稳健性的关键
1 Xÿ 1 Xÿ 1.1 Ôƒµ Ÿ, òÉ7K¹ƒ ü¥è „Lƒ ä½ØÑOä, 7K¹ƒƒ Äè›]$ä. œd, 'uÅ`›]¸—¿JÔƒòÜ—¥yì›]Æ⁄$ Æ :Ôƒ+ç. ëX·›]|‹¿Jnÿ!é{ÜA^ÔƒF™ı, 'uıœÅ `›]|‹¿JÔƒ“5…7Kƈ⁄A^ÍÆÛäˆ'5, ø×ѧè cÔƒ9:. cŸ3·I, …CAcy ½|ÿµÌKè, ± ëk›Å⁄Á ·œ¥¸—ÈJ2uûä^, $^½˛zºx›˛ê{55;4‡ºx⁄$^ı „›]|‹`z .5ç›]±œºË¬Ã“Ƨè›]ˆƒ¿. r7K `znÿÜê{A^7K˚¸¢Ç•Æ²§è7Kí.⁄Æ‚.£, ˛ z›]ê{y3ƒ7˙i!›]Ôu‹Ä!$ñ¥áN›]ˆ•yƧèûe'5 9Ä{K. , , ëX7K½| •zu–, y¢½|Ǹ5E,, kû¨—y 4‡7KàŽˆ½|ǸÏCz. du˘ œ, ›]ˆ3(½›]¸—û ÿåU ½|&E. @o, X¤ÈIS 7K½|˝¢Ç¸!›]ˆ§ º&Eß› ú¹, n‹$^yì›]Æ!ëÅ©¤ê{⁄pg$ Æ ê{, 3E,½|Ǹe, ÔUèx½|Ǹƒ5⁄E,5ıœºx›˛, ⁄ Uº½¬ÃÖ5;4‡ºx›]|‹¿J .“§èñ)˚ØK, 襉 kánÿdä⁄Æ‚ø¬ÔƒÿK. ù‚ı „›]|‹¿JØKA, ·Ç@èKèŸÔ !¶)'ÖœÉk ná: ƒk¥ÈëÅ›]Ǹ¸C£„, =X¤^ÍÆäÛ£„ô5ëÅõî (¬Ã) 6Cz; Ÿg¥Èÿ”›]ï½›ºÿ”ß›½|&E›]<, X¤ET ºx›˛ºÍ5èx›]ˆ˝¢†–; 1n¥X¤Ô‹nı „›]|‹¿ J ., ¶T .QUÈE,½|Ǹ‹nèx›]ˆ›]%n, q‰k,´ –/™¶Ÿå3k¶)ê{. ±e, ·Çƒk{á0 ıœºx›˛u– yG, ,UÏÈE,½|Ǹÿ”£„ê{, ·Ç©nåa5n„Èı „›]| ‹¿JØKÔ Ü¶)ÔƒyG. 1.2 ıœºx›˛ duJ[²LØÑu–, y ½|5 5å!Ń5™Ñ, ˘¶7 Kºx›˛⁄+nCcèá. Èuı „›]|‹¿JØK, ÉAºx›˛ Eç¥Kè§Ô .‹n5⁄å¶)5!§›]˚¸¢^5ÜË5'Ö 1
西安交通大学博士学位论文 因素.近十年来,多期风险度量的构造和分析己经成为研究的热点,因为静态的风险度 量很难刻画多期问题中信息随时间的变化关系.除了考虑像静态风险度量所应满足的 一些性质之外,在选择多期风险度量时我们还必须考虑随机信息的时变性所带来的新 的要求.总的来讲,按定义的宽泛程度,我们可将多期风险度量分为三类:终期财富风 险度量,可加型风险度量和递归型风险度量 第一类终期财富风险度量为单期度量在多期的平凡推广,它以对最终期损失的不 确定程度的度量作为风险,如考虑终期财富的方差等.这一类方法的动态性更多是 由应用于投资组合选择问题时,中间期投资的可变化性,和中间期随机变量的相依关系 来体现,而非由风险度量的形式来体现,故而不能灵活地体现信息与风险之间的关系 第二类为可加型风险函数,它将各期损失的风险分别度量后再加权求和作为总的 多期风险.因为其具有可采用动态规划等方法来有效求解的计算优势,可加型风险度量 不但在理论上被广泛研究,它也被广泛应用于实际中的多期风险控制与多阶段投资 组合选择问题国.这类度量的特点在于能较好反映信息与风险之间的动态关系.但是, 这一类风险度量在不同期风险关系的刻画上形式比较固定,不能更灵活地反映不同期 风险之间的关系 进而,人们提出了基于信息流过程的条件风险框架同,并分别在一致性框架同,条 件风险函数框架和马氏随机过程框架下,将多期风险描述为嵌套递归的形式,此 即第三类所谓的递归型风险度量.这类风险度量可在较弱的条件下自然满足时间相容 性閃.递归风险函数虽然具有良好的动态性质,但其在计算上并不具优势.因为递归风 险函数需要将每期风险函数复合起来,在期数较多时,它很容易产生次数灾难的问题 这使得单期下的高阶矩等风险度量函数在以这种递归形式推广至多期时难以计算,更 不用说在多期投资决策问题中的应用. 因为关于多期风险度量的研究是本论文的重点,我们将在第2章更详细的介绍其 基本定义,基本性质和文献中常见的构造形式.我们进一步提出三种构造多期风险度量 的一般形式,使之可包含文献中所出现的绝大多数多期风险度量.最后,我们还基于这 三种一般形式,从理论上探讨终期财富风险度量,可加型风险度量和递归型风险度量之 间的关系 1.3多阶段投资组合选择 投资组合选择问题关注的是如何将投资者的财富在不同资产之间进行分配,以期 获得更髙的收益并规避潜在的损失.文献門最早引入了单期均值-方差模型,并给出了 求解该问题的一种基本方法.文献1将非卖空约束加入到了单期均值-方差模型中,并 给出了解析的最优投资策略.然而,在中长期投资决策问题中,随着信息的不断获得,投 资者所关心的金融头寸也在不断地发生变化.因此,研究将财富在多期之间进行最优分 配的多阶段投资组合选择问题就成为了必然 动态投资组合选择问题可大致分为两类:连续时间投资组合选择问题1,和离散
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1绪论 时间投资组合选择问题口12.在现实中,由于市场摩擦,交易限制,以及休市等因素的影 响,离散时间投资组合选择问题更容易应用于指导普通投资者的动态投资过程.因此 在本论文中,我们只考虑离散时间投资组合选择问题,与现有文献中的称谓相对应,我 们也将其称做多期或多阶段投资组合选择问题.因为所寻找投资组合的动态性,我们有 时也称之为多期或多阶段投资策略选择问题.因为决策的动态性和随机收益的不确定 性,一个很自然的建模方法是用多阶段随机规划来描述多阶段投资组合选择问题.为了 给读者一个更直观的印象,我们将在第2章的第2.节中给出一个通用的多阶段投资 组合选择问题的模型 为了使所建立多阶段投资组合选择问题对应的优化模型能较好地反映现实的投资 环境,确保最终所得的最优投资策略实用、有效,我们就需要在建模时考虑实际中不同 国家、不同证券市场的各种投资限制约束,这就是所谓市场摩擦因素的影响 最常见,也是最多被研究的摩擦因素就是交易费用,但考虑交易费用常常会将原本 连续的模型变为离散、非线性的复杂模型,给求解带来很大困难.文献1研究了具可 加型效用函数的多阶段投资问题,其中考虑了随投资资产的数目等比例变化的管理费 用;文献用线性优化模型来描述和求解带比例交易费用的多阶段投资决策问题;文 献151则分别研究了带有比例交易费用的国际证券投资组合和动态投资组合优化问 题文献通过建立税后的动态MⅣV问题的混合整数规划模型,考虑了多种税收对收入 的影响.现有考虑交易费用的文献几乎都是在均值-方差等特殊框架下讨论的,这导致 所得投资策略不满足时间相容性等性质.那么,若选用其他时间相容的多阶段风险度 量,如何构建、求解考虑市场摩擦的多阶段投资组合选择问题就是一个很重要的问题. 现有的很多投资模型允许卖空风险资产并允许无限制地借贷无风险资产.这在某 些证券市场中并不允许,也会更容易导致破产.文献在考虑连续时间均值-方差最 优投资组合选择模型时发现,当在无限制模型中加入破产、非卖空、投资边界等一些 约束时,就无法如无限制模型一样获得最优解,而通过数值方法求解后,作者发现加入 这些约束对有效前沿有着显著的影响.为了防止破产,文献192采用概率约束来刻画 破产约束,并将其应用于离散时间投资组合选择模型中.相应地,文献四2在连续时间均 值-方差框架下,文献凹在随机市场环境下,进一步分别探讨了带有破产约束的多阶段 投资组合选择问题 除了上述这些对随机金融决策模型的限制外,如何对模型中的随机变量及其随时 间的动态变化进行有效建模,也是一个十分重要的议题.例如,我们应当用连续状态还 是离散状态来描述某期的随机收益?在随机收益的分布信息未知时,我们又该如何恰 当建模?这里既要考虑对未来不确定性刻画的精确性,也要考虑依其所建模型的易于 求解性和所得决策的实用性.以下,我们将从对市场环境的不同描述方法的角度,分三 大类来综述多阶段投资组合选择问题的建模与求解.他们分别是:情景树方法,统计方 法和分布式鲁棒方法
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西安交通大学博士学位论文 1.3.1情景树方法 为将带有无穷多个约束的随机规划问题转化为现实可解的确定性规划问题,我们要 先对问题中的随机参数进行逼近或近似.为此情景技术在近年来已成为描述不确定性 的主流方法B2.假设风险资产的收益(或价格)在未来各期只有有限多个可能的取值 那么,根据收益随时间的演化关系可得到一个树状结构,我们称之为情景树.情景的数 量以及情景树的结构不仅关系到所导出多阶段投资组合选择模型的复杂性和稳健性, 而且它们的好坏直接影响着最终决策的优劣. 当使用情景树法来表述多阶段投资组合选择问题对应的随机规划模型时,一种自 然的想法是利用树状结构的特点,运用拉格朗日松弛法等分解算法来有效求解相应的 优化问题四.在情景树框架下,研究最多的是采用CVaR作为投资终期风险的度量.文 献考虑了两阶段的极小化终期财富CVaR的模型,并在情景树环境下,运用文献2 的变换方法将模型转换为线性规划求解.其两阶段模型共有15,000个情景,第一阶段 有150个分枝而第二阶段每个结点各有100个分枝,实证说明2阶段模型效果要优于 同样情景数目的单阶段模型.文献2考虑了含有选择整数变量的极小化终期CVaR与 极大化终期期望收益的多目标问题,通过情景树展开后设计了基于混合变邻域搜索的 禁忌搜索.但其最大可处理的问题仅有4期,27个情景和40个节点.文献在考虑终 期CVaR的基础上,专门针对两阶段问题给出了两阶段CVaR的模型,并针对CVaR 约束的模型给出了基于惩罚函数的分解算法.文献进一步将其扩展到多个阶段的情 形,即每个阶段均含有一个CVaR约束的模型.文献剛针对情景树的特点,提出了情 景分解策略,并混合使用部分正则化束方法给出了一种风险厌恶多期随机规划的有效 求解方法 为了精确逼近随机收益过程的分布与变化,我们往往需要生成大量的情景,同时情 景树的规模也会随着期数的増加而指数增长.当情景数量过于庞大或阶段数较多时,使 用情景树方法所导出决策问题的规模也会变得非常大,这就导致“维数灾难”,使得决 策问题难于甚至无法求解.例如,对于含有CVaR风险厌恶的模型,文献②只求解到 两期、15,000个情景的问题,文献27湖也最多考虑到4个阶段、不超过100个情景的 问题.鉴于此,一些学者提出了可以利用主成分分析、聚类分析图或约减技术833 来对相应的情景进行整合与简化,以得到规模相对较小的情景树.然而,如何利用这些 情景树的简约技术,结合多阶段投资组合选择问题的具体特点,给出更好、更有效的情 景树表征方法或实用的修正技巧,以便求解实际中的中大规模多阶段投资组合选择问 题,目前还没有成熟的方法,这是急需解决的问题 1.3.2统计方法 运用统计方法,决策者可以基于事先对随机事件的观察与判断,通过假定随机事件 服从经验总结的统计特征,特别是分布特征,来得到原复杂问题的解析解或者将其转换 为很易求解的等价确定性问题.但是,如何动态描述各个不同期随机分布之间的关系
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1绪论 并能够将其转换为较小规模的确定问题始终是难点.文献叫展开了一项开创性的工作, 他们研究了离散时间框架下仅考虑终期财富的条件均值-方差问题,并假设风险资产 各期收益之间是相互独立的,在自融资约束下将多期均值-方差模型嵌入到一个可分 的辅助问题,然后利用辅助问题的解获得了原问题的解析最优投资策略.这种求解策略 被文献拓广到连续时间框架下的条件均值-方差问题.除了直接用来度量多期投资 的风险和构建投资模型外,统计参数方法也被用来设计求解其它形式多阶段投资组合 选择问题的近似方法,这里应用最多的是求解含有概率约束或机会约束的多期投资问 题.例如,文献将文献提出的安全第一模型推广到多期情形,在通过切比雪夫不 等式,利用一、二阶矩信息对概率约束不等式进行放缩后,运用类似文献的策略设计 出了求解所论问题的有效算法.文献研究了各期均含有以一种特殊的概率约束表示 的破产约束的投资组合选择模型,用类似前一文献的求解思路,得到了所研究多期投资 问题的解析最优解.文献采用终期财富的最大绝对偏差来度量风险,并考虑了破产 以及非卖空约束,利用动态规划法获得了解析的最优投资策略. 然而,仅仅考虑期望与方差的投资决策模型只适用于金融资产的收益分布服从正 态分布的情形.但大量的实证研究表明金融资产的收益分布呈现出明显的尖峰厚尾特 性悶.为恰当描述并求解多阶段投资组合选择问题,我们可进而考虑峰度、偏度等高 阶矩信息.遗憾的是,目前对其它高阶矩型多期风险度量下的多期投资问题研究比 较少,其最主要原因是相应的问题很难求解. T分布是正态分布与卡方分布的比值,通过卡方分布中自由度的调节,t分布可以 更好地反映风险资本收益普遍存在的厚尾现象,大量实证检验结果表明风险资产收 益的联合分布并非正态,而是服从自由度较低的t分布.t分布包含正态分布做为其特 例,即自由度为+∞的t分布是正态分布.正态分布假设下的各种资产定价理论在t分 布下通常也是正确的田.此外,近年来,随着各种算法的不断提出,基于t分布的各种 估计问题,如VaR或者CVaR等的估计问题2,均可得到快速求解,这也使得t分布变 得和正态分布一样易于应用 为了更好地刻画金融资产收益分布的尖峰厚尾特性和动态收益过程的波动性, 我们可以采纳机制转换( regime switching)的方法.机制转换以一种期与期之间的非 线性动态关系来展现收益率随时间的非光滑变化.文献中常见的这种动态关系有两 种,一种是马氏机制转换( Markov regime switching)模型,另一种是观测机制转换 ( observation regime switching)模型,区别在于机制过程的动态转换是否依赖于收益 过程本身.机制转换得以广泛应用的主要原因是其可有效地描述宏观经济的走向,与传 统经济周期理论相结合后,在反映收益率时间相关性的周期特点上很有价值,同时,基 于多个不同机制对经济状态的区分,该方法能够以更加贴合实际的方式来描述有偏度 及尖峰厚尾的市场特点,因为机制转换应用在预测过程中,本身就可被看做有限个子分 布的混合文献通过含有两个机制的机制转换模型展示了偏度、峰度随市场机制转 换而相应变化的趋势. 5
1 Xÿ øU ÚŸ=Üè5 (½ØK©™¥J:. ©z[1] –m òëmM5Ûä, ¶ÇÔƒ l—ûmµee=ƒ™œ„L^á˛ä - ê ØK, øbºx] àœ¬ÃÉm¥Ép’·, 3gK]ÂeÚıœ˛ä - ê .i\òáå© 9œØK, ,|^9œØK)º ØK)¤Å`›]¸—. ˘´¶)¸— ©z[35] ˇ2ÎYûmµee^á˛ä - ê ØK. ÿ Ü^5›˛ıœ›] ºx⁄Ô›] . , ⁄OÎÍê{è^5O¶)Ÿß/™ı „›]|‹ ¿JØKCqê{, ˘pA^Åı¥¶)¹kV«Â½Å¨Âıœ›]Ø K. ~X, ©z[19] Ú©z[36] J—S 1ò .Ì2ıœú/, 3œLÉ'»Åÿ ™, |^ò! ›&EÈV«Âÿ ™?1ò†, $^aq©z[1] ¸—O — ¶)§ÿØKké{. ©z[20] Ôƒ àœ˛¹k±ò´AœV«ÂL´ ªÂ›]|‹¿J ., ^aqcò©z¶)g¥, §Ôƒıœ›] ØK)¤Å`). ©z[37] Ê^™œ„LÅå˝È† 5›˛ºx, øƒ ª ±9öÒòÂ, |^ƒ5y{º )¤Å`›]¸—. , , ==ƒœ"Üê ›]˚¸ .ê·^u7K]¬Ã©Ÿ—l ©Ÿú/. å˛¢yÔƒL²7K]¬Ã©Ÿ•y—²wk¸˛óA 5[38] . èT£„ø¶)ı „›]|‹¿JØK, ·Çå? ƒ¸›!†› p ›&E[39] . ¢Ã¥, 8cÈŸßp ›.ıœºx›˛eıœ›]ØKÔƒ' , ŸÅÃᜥÉAØKÈJ¶). T ©Ÿ¥©ŸÜkê©Ÿ'ä, œLkê©Ÿ•gd›N!, t ©Ÿå± ç–/áNºx] ¬Ã H3˛óyñ, å˛¢yu(J[40] L²ºx]¬ ÃÈ‹©Ÿøö, ¥—lgd›$ t ©Ÿ. t ©Ÿù¹©ŸâèŸA ~, =gd›è+∞ t ©Ÿ¥©Ÿ. ©Ÿbeà´]½dnÿ3 t © Ÿeœ~è¥([41] . d , Cc5, ëXà´é{ÿ‰J—, ƒu t ©Ÿà´ OØK, X VaR ½ˆ CVaR OØK[42] , ˛åØѶ), ˘è¶ t ©ŸC ⁄©Ÿò¥uA^. è ç–/èx7K]¬Ã©Ÿk¸˛óA5⁄ƒ¬ÃLßŃ5, ·Çå±ÊBÅõ=Ü (regime switching) ê{. Åõ=ܱò´œÜœÉmö Ç5ƒ'X5–y¬Ã«ëûmö1wCz. ©z•~Ñ˘´ƒ'Xk¸ ´, ò´¥ÍºÅõ=Ü (Markov regime switching) .[43] , ,ò´¥*ˇÅõ=Ü (observation regime switching) .[44] , ´O3uÅõL߃=Ü¥ƒù6u¬Ã Lß . Åõ=ܱ2çA^ÃᜥŸåk/£„˜*²Lrï, ÜD ⁄²L±œnÿÉ(‹, 3áN¬Ã«ûmÉ'5±œA:˛Èkdä, ”û, ƒ uıáÿ”ÅõȲLG´©, Tê{U ±ç\b‹¢Sê™5£„k†› 9k¸˛ó½|A:, œèÅõ=ÜA^3˝ˇLß•, “åwâkÅáf© Ÿ·‹. ©z[45] œL¹k¸áÅõÅõ=Ü .–´ †›!¸›ë½|Åõ= Ü ÉACz™³. 5