2多期风险度量 上共有T+1个时间点:0,1,2,…,T,因此也就有T个连续的期.我们有时也将0时 刻称作第0期或当前期.在第t期,σ代数FCF表示截止t期所有已知事件的集 合.F0={0,9},且o≤万S…Fr,我们假设观察到的随机损失过程为X,在t期 X∈C适应于F这里C=C(,F,P),p∈[,+∞),是t期随机损失所处的泛函 空间.为记号简洁,我们令从t期到T期的损失过程为Xr=(X,…,Xr)∈Cr,相 应的乘积空间为Cr=C1×…×Cr.类似于文献S,我们定义t期的条件风险函数为 Pr():Cr→C.进而,我们称{Pr}。为一个多期风险度量或动态风险度量.作为 多期风险度量的一个特殊情况,P():C+1→Ct表示相应的单期风险映射,即在t期 度量t+1期损失的风险.此外,当Xr=(0,…,0,X)时,我们简记条件风险映射为 Pt.T(XT) 在一些文献中,多期风险度量是基于现金流过程,收益过程,或财富过程定义 的B68河3.这些定义方式只是在记号上与上述基于损失过程定义的多期风险度量有所 不同,本质都是一样的 基于ρx,我们就能构造多阶段投资组合选择问题.考虑投资区间上的一个{F}0 可测的随机状态过程{}=0,一个决策过程{u}=0和一个依赖于{ut}和{s}的随机 损失过程{X}在多期框架下,随机状态51,51,…,5r是在这T期随时间逐步揭示的, 所以相应的动态决策也应该适应于该随机过程.因此,决策过程{u}应当具有如下的 特性 决策(uo)~观测(51)~决策(u1) →观测(5r-1)→决策(ur-1)→观测(5r) 因为决策u是在揭示后而做出的,所以我们很自然地假设u是可测的, t=1,……,T-1.在第0期,是确定的决策,因此u是多。可测的.在任意时刻t,Xt 是X-1,t-1和t的函数91:C-1×l4-1×Ct→Ct.我们称此函数为状态转移方程 我们要求9在任意t期都是凸函数.基于这些设定,我们就可写出多阶段投资组合选 择问题的一般形式823河4,并将其用多阶段随机规划的形式表示如下: m (X0m) st.Xt=9(Xt-1,ut-1,5t),t=1,……,T, ut∈lt,t=0,……,T-1, 让t<Jt,t=0,……,T-1. 这里的目标函数P0r表示多期风险度量,这也是多阶段投资组合选择问题的核心 状态转移方程(2-2)描述状态,决策与损失过程之间的关系.当X线性依赖于X-1, 且是u-1和2的双线性函数时,我们称该方程为财富转移方程凹,财富平衡条件2或 者线性补偿约束闻.控制可行域l4可以随时间变化,可以包含市场摩擦,市场交易限 制,非买空等约束.非预期约束(2-4)表示u适应于滤波Ft,即要求在任意期t,tt是 11
2 ıœºx›˛ ˛k T + 1 áûm:: 0, 1, 2, · · · , T, œdè“k T áÎYœ. ·ÇkûèÚ 0 û è°ä1 0 œ½cœ. 31 t œ, σ ìÍ Ft ⊂ F L´ é t œ§kÆØá8 ‹. F0 = {∅, Ω}, Ö F0 ⊆ F1 ⊆ · · · FT . ·Çb* ëÅõîLßè Xt , 3 t œ Xt ∈ Lt ·Au Ft . ˘p Lt = Lp(Ω, Ft , P), p ∈ [1, +∞), ¥ t œëÅõî§?çº òm. èP“{', ·Ç-l t œ T œõîLßè Xt,T = (Xt , · · · , XT ) ∈ Lt,T , É A¶»òmè Lt,T = Lt × · · · × LT . aqu©z[8] , ·Ç½¬ t œ^áºxºÍè ρt,T (·) : Lt,T → Lt . ? , ·Ç° {ρt,T } T t=0 èòáıœºx›˛½ƒºx›˛. äè ıœºx›˛òáAœú¹, ρt(·) : Lt+1 → Lt L´ÉA¸œºxN, =3 t œ ›˛ t + 1 œõîºx. d , Xt,T = (0, · · · , 0, XT ) û, ·Ç{P^áºxNè ρt,T (XT ). 3ò ©z•, ıœºx›˛¥ƒuy76Lß, ¬ÃLß, ½„LLß½¬ [3,6–8,73] . ˘ ½¬ê™ê¥3P“˛Ü˛„ƒuõîLß½¬ıœºx›˛k§ ÿ”, ü—¥ò. ƒu ρt,T , ·Ç“UEı „›]|‹¿JØK. ƒ›]´m˛òá {Ft} T t=0 åˇëÅGLß {ξt} T t=0, òá˚¸Lß {ut} T t=0 ⁄òáù6u {ut} ⁄ {ξt} ëÅ õîLß {Xt}. 3ıœµee, ëÅG ξ1, ξ1, · · · , ξT ¥3˘ T œëûmÅ⁄´, §±ÉAƒ˚¸èAT·AuTëÅLß. œd, ˚¸Lß {ut} A‰kXe A5 ˚¸ (u0) *ˇ (ξ1) ˚¸ (u1) · · · *ˇ (ξT −1) ˚¸ (uT −1 ) *ˇ (ξT ). œè˚¸ ut ¥3´ ξt â—, §±·ÇÈg,/b ut ¥ Ft åˇ, t = 1, · · · , T − 1. 31 0 œ, u0 ¥(½˚¸, œd u0 ¥ F0 åˇ. 3?øûè t, Xt ¥ Xt−1, ut−1 ⁄ ξt ºÍ gt : Lt−1 × Ut−1 × Lt → Lt . ·Ç°dºÍèG=£êß. ·Çᶠgt 3?ø t œ—¥‡ºÍ. ƒu˘ ½, ·Ç“å—ı „›]|‹¿ JØKòÑ/™[3,23,74] , øÚŸ^ı „ëÅ5y/™L´Xe: min ut ρ0,T (X0,T ) (2–1) s.t. Xt = gt(Xt−1, ut−1, ξt), t = 1, · · · , T, (2–2) ut ∈ Ut , t = 0, · · · , T − 1, (2–3) ut ✁ Ft , t = 0, · · · , T − 1. (2–4) ˘p8IºÍ ρ0,T L´ıœºx›˛, ˘è¥ı „›]|‹¿JØKÿ%. G=£êß (2–2) £„G, ˚¸ÜõîLßÉm'X. Xt Ç5ù6u Xt−1, Ö¥ ut−1 ⁄ ξt VÇ5ºÍû, ·Ç°Têßè„L=£êß[1] , „L²Ô^á[25] ½ ˆÇ5÷ÄÂ[74] . õõå1ç Ut å±ëûmCz, å±ù¹½| fi, ½|¥Å õ, öÔò Â. ö˝œÂ (2–4) L´ ut ·Au»Å Ft , =á¶3?øœ t, ut ¥ 11
西安交通大学博士学位论文 F可测的.在多阶段随机规划问题中,非预期约束保证了动态决策只依赖于当前已知 的所有信息,避免做出从上帝视角观察到的最优决策 22多期风险度量的性质 合理的多期风险度量应该满足一些经济层面或数学角度的性质.我们首先简要介 绍良好的多期风险度量作为随机过程的函数所应具有的性质,比如局部性质,单调性, 平移不变性,次可加性,正齐次性,凸性和分布不变性.最后,我们着重介绍多期风险度 量在描述不同期之间信息的动态关系上的重要性质,即时间相容性 定义2.1称一个多期风险度量{P:r}=0满足局部性质,如果1AP:r(Xr) 1AP:r(1AXr)对任意的随机损失过程Xr∈Cr和A∈成立 局部性质可以被等价地描述为 Pt.T(1AXtT+lAc WiT)=1APt T (X, T)+1AcP, T(WtT 对任意的Xn,Wr∈Cr和A∈F均成立.局部性质说的是风险只依赖于从计算 风险时开始之后的信息,同时也需将未来不可发生的事件排除于风险的计算之外,:6 在文献回中,局部性质也被称作规范性( regularity),在文献河中,局部性质也被称 作时间相容性,这里和文献中常用的时间相容性定义并不相同.从数学角度,局部性质 可以由单调性和平移不变性导出,因此,它也很容易在现实中得到满足 定义2.2称一个多期风险度量{r}=满足单调性,如果对任意两个损失过程 Xx和Hr,Xr≤Yr隐含pr(Xr)≤Pr(Yr),t=0,1,…,T 单调性讨论的是当损失增加时,风险函数是否有同样的变化趋势.它保证了更大的 损失对应着更高的风险.值得注意的一个地方是,我们这里讨论的单调性是定义于累加 财富的基础上.而单调性也是多期风险函数的最重要的性质之一 定义23称一个多期风险度量{Px}0满足平移不变性,如果pr(X,0,…,0 X对所有X∈Ct,t=0,1,…,T,成立 平移不变性要求,在未来没有损失的情况下,当前的风险等于当前的损失.文献中 还有很多种不同形式的平移不变性的定义82.比如,文献定义{Pr}0的平移 不变性为 Pr(X,Xt+1,……,XT)=Xt+ptx(0,Xx+1 r) 对所有Xr∈Cr成立.这个平移不变性描述的是,考虑当前损失的多期风险等于不 考虑当前损失的多期风险和当前损失的和文献闪定义平移不变性为:{:n}7=0满足平 移不变性,如果 Xr +pt. r(Xt, X
‹SœåÆƨƆÿ© Ft åˇ. 3ı „ëÅ5yØK•, ö˝œÂy ƒ˚¸êù6ucÆ §k&E, ;ùâ—l˛2¿* Å`˚¸. 2.2 ıœºx›˛5ü ‹nıœºx›˛AT˜vò ²L°½ÍÆ›5ü. ·Çƒk{á0 ˚–ıœºx›˛äèëÅLߺͧA‰k5ü, 'X¤‹5ü, ¸N5, ²£ÿC5, gå\5, ‡g5, ‡5⁄©ŸÿC5. Å, ·ÇX0 ıœºx› ˛3£„ÿ”œÉm&Eƒ'X˛á5ü, =ûmÉN5. ½¬ 2.1 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜v¤‹5ü, XJ 1Aρt,T (Xt,T ) = 1Aρt,T (1AXt,T ) È?øëÅõîLß Xt,T ∈ Lt,T ⁄ A ∈ Ft §·. ¤‹5üå± d/£„è ρt,T (1AXt,T + 1AcWt,T ) = 1Aρt,T (Xt,T ) + 1Ac ρt,T (Wt,T ) È?ø Xt,T , Wt,T ∈ Lt,T ⁄ A ∈ Ft ˛§·. ¤‹5ü`¥ºxêù6ulOé ºxûm©É&E, ”ûèIÚô5ÿåu)Øá¸ÿuºxOéÉ [75,76] . 3©z[77] •, ¤‹5üè°ä5â5 (regularity), 3©z[78,79] •, ¤‹5üè° äûmÉN5, ˘p⁄©z•~^ûmÉN5½¬øÿÉ”. lÍÆ›, ¤‹5ü å±d¸N5⁄²£ÿC5—[7] , œd, ßèÈN¥3y¢•˜v. ½¬ 2.2 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜v¸N5, XJÈ?ø¸áõîLß Xt,T ⁄ Yt,T , Xt,T ≤ Yt,T ¤¹ ρt,T (Xt,T ) ≤ ρt,T (Yt,T ), t = 0, 1, · · · , T. ¸N5?ÿ¥õîO\û, ºxºÍ¥ƒk”Cz™³. ßy çå õîÈAXçpºx. ä5øòá/ê¥, ·Ç˘p?ÿ¸N5¥½¬u\\ „Lƒ:˛[8] . ¸N5è¥ıœºxºÍÅá5üÉò[8] . ½¬ 2.3 °òáıœºx›˛{ρt,T } T t=0 ˜v²£ÿC5, XJρt,T (Xt , 0, · · · , 0) = Xt ȧk Xt ∈ Lt , t = 0, 1, · · · , T, §·. ²£ÿC5á¶, 3ô5vkõîú¹e, cºx ucõî. ©z• ÑkÈı´ÿ”/™²£ÿC5½¬[7,8,80–82] . 'X, ©z[8] ½¬{ρt,T } T t=0 ²£ ÿC5è, ρt,T (Xt , Xt+1, · · · , XT ) = Xt + ρt,T (0, Xt+1, · · · , XT ) ȧk Xt,T ∈ Lt,T §·. ˘á²£ÿC5£„¥, ƒcõîıœºx uÿ ƒcõîıœºx⁄cõî⁄. ©z[7] ½¬²£ÿC5è: {ρt,T } T t=0 ˜v² £ÿC5, XJ ρt,T (Xt + mt , Xt+1, · · · , XT ) = mt + ρt,T (Xt , Xt+1, · · · , XT ) 12
2多期风险度量 对所有的Xr∈Cr和mt∈C成立.这个平移不变性描述的是,增加一个确定的当 前损失,多期风险也会增加相同的数额.一般来说,平移不变性都描述的是,在给定信 息滤波后,增加一个确定的损失过程,多期风险值是否也会相应增加一个确定的量.在 致性风险度量框架下,平移不变性允许我们将一个风险度量表示为使得一个随机损 失过程可接受所必须增加的财富量. 定义24称一个多期风险度量{Ppr}=0满足次可加性,如果对任意的Xt,Y1r 我们有Px(Xx+Yn)≤p:r(X:n)+ptr(Yr),t=0,1 次可加性反映金融投资规避风险的一个最直观方法:即不要将鸡蛋放在同一个篮 子里.这是现代投资组合理论中分散投资降低风险的基本性质.而在多期风险度量框 架下,次可加性意为,如果两个损失过程被混合在一起,则多期风险值并不会比分开时 增大.对于任意t=0,1,……,T,次可加性意味着 Pr(Xr)≤Pr(Xt,0,…,0)+Ptr(0,Xt+1,0,…,0)+…+p:r(0,…,0,XT 因此,次可加性也意味着在不同期之间分散投资也可以减少或至少不增加多期风险,这 是对次可加性含义的一个拓 定义25称一个多期风险度量{r}满足正齐次性,如果对任意的Xr和 入>0.,都有Pm(XXr)=APr(Xm),t=0,1,…,T 在实际投资中,投资者自然会关注风险值随投资量增加的幅度.在具有充分流动性 的假设下,我们可以要求多期风险度量的值随着投资量等比例增加.而正齐次性就描述 的是这一性质.在可接受风险度量的框架下,一个风险度量是正齐次的当且仅当其对应 的可接受集是一个锥72 定义2.6称一个多期风险度量{Pr}满足凸性,如果对任意的Xr和Yr,都 有P1r(AXr+(1-)Yr)≤APr(Xm)+(1-APr(Yr),A∈[0,1,t=0,1,…,T. 类似次可加性,凸性保证分散化投资并不会增加投资风险38.同时,风险度量的 凸性在很大程度上使得风险厌恶的投资组合选择问题是凸规划问题,从而较易求解.而 在动态环境下,凸性保证了将投资分散到不同期会减少或至少不增加投资风险,这个性 质可以反映投资者在整个投资过程中保持持续的风险厌恶特性.凸性可以由次可加性 和平移不变性推出.在可接受风险度量框架下,一个风险度量满足凸性当且仅当其对应 的可接受集是凸的72 此外,我们称一个多期风险度量是动态一致性风险度量,如果它同时满足单调性, 平移不变性,正齐次性和凸性.而称一个多期风险度量是动态凸风险度量,如果它同时 满足单调性,平移不变性,和凸性. 定义27称一个多期风险度量{r}=0满足分布不变性,如果对任意的Xr,Y∈ Cr,若它们在0≤t≤T期的条件分布都相同,则有Pr(Xn)=P2r(Yr)
2 ıœºx›˛ ȧk Xt,T ∈ Lt,T ⁄ mt ∈ Lt §·. ˘á²£ÿC5£„¥, O\òá(½ cõî, ıœºxè¨O\É”Í. òÑ5`, ²£ÿC5—£„¥, 3â½& E»Å, O\òá(½õîLß, ıœºx䥃è¨ÉAO\òá(½˛. 3 òó5ºx›˛µee, ²£ÿC5#N·ÇÚòáºx›˛L´è¶òáëÅõ îLßå…§7LO\„L˛. ½¬ 2.4 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜vgå\5, XJÈ?ø Xt,T , Yt,T , ·Çk ρt,T (Xt,T + Yt,T ) ≤ ρt,T (Xt,T ) + ρt,T (Yt,T ), t = 0, 1, · · · , T. gå\5áN7K›]5;ºxòáÅÜ*ê{: =ÿáÚ/ò3”òá; fp. ˘¥yì›]|‹nÿ•©—›]¸$ºxƒ 5ü. 3ıœºx›˛µ ee, gå\5øè, XJ¸áõîLß·‹3òÂ, Kıœºxäøÿ¨'©mû Oå. Èu?ø t = 0, 1, · · · , T, gå\5øõX ρt,T (Xt,T ) ≤ ρt,T (Xt , 0, · · · , 0) + ρt,T (0, Xt+1, 0, · · · , 0) + · · · + ρt,T (0, · · · , 0, XT ). œd, gå\5èøõX3ÿ”œÉm©—›]èå±~½ñÿO\ıœºx, ˘ ¥Ègå\5¹¬òáˇ2. ½¬ 2.5 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜v‡g5, XJÈ?ø Xt,T ⁄ λ > 0, —k ρt,T (λXt,T ) = λρt,T (Xt,T ), t = 0, 1, · · · , T. 3¢S›]•, ›]ˆg,¨'5ºxäë›]˛O\Û. 3‰kø©6ƒ5 be, ·Çå±á¶ıœºx›˛äëX›]˛ '~O\. ‡g5“£„ ¥˘ò5ü. 3å…ºx›˛µee, òáºx›˛¥‡gÖ=ŸÈA å…8¥òáI[72] . ½¬ 2.6 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜v‡5, XJÈ?ø Xt,T ⁄ Yt,T , — k ρt,T (λXt,T + (1 − λ)Yt,T ) ≤ λρt,T (Xt,T ) + (1 − λ)ρt,T (Yt,T ), λ ∈ [0, 1], t = 0, 1, · · · , T. aqgå\5, ‡5y©—z›]øÿ¨O\›]ºx[83,84] . ”û, ºx›˛ ‡53Èåß›˛¶ºx›]|‹¿JØK¥‡5yØK, l ¥¶). 3ƒÇ¸e, ‡5y Ú›]©—ÿ”œ¨~½ñÿO\›]ºx, ˘á5 üå±áN›]ˆ3á›]Lß•±±YºxA5. ‡5å±dgå\5 ⁄²£ÿC5Ì—. 3å…ºx›˛µee, òáºx›˛˜v‡5Ö=ŸÈA å…8¥‡[72] . d , ·Ç°òáıœºx›˛¥ƒòó5ºx›˛, XJß”û˜v¸N5, ²£ÿC5, ‡g5⁄‡5. °òáıœºx›˛¥ƒ‡ºx›˛, XJß”û ˜v¸N5, ²£ÿC5, ⁄‡5. ½¬ 2.7 °òáıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜v©ŸÿC5, XJÈ?ø XT , YT ∈ LT , eßÇ30 ≤ t ≤ T œ^á©Ÿ—É”, Kk ρt,T (XT ) = ρt,T (YT ). 13
西安交通大学博士学位论文 分布不变性刻画的是一个多期风险度量的值仅依赖于随机变量的条件分布1.这 个性质对于我们计算多期风险度量很有帮助. 23时间相容性 对多期风险度量和多阶段投资组合选择问题而言,各期的投资风险一般来说都是 动态变化的,且依赖于信息过程.因此,刻画不同期之间风险值的大小以及相依关系就 显得尤为重要,而时间相容性就是刻画这种关系的重要性质.这一性质在近些年被广泛 研究68828587.有许多不同形式的时间相容性被提出.一般情况下,对时间相容性的研 究可从两个方面进行:多期风险度量的时间相容性和最优投资策略的时间相容性.本 小节我们将介绍一些不同形式的时间相容性,并简要综述不同定义之间的关系 2.3.1动态时间相容性 早期关于风险度量时间相容性的硏究都是针对终期财富而言的.较早的风险度量 时间相容性的主要思想可以简单地表述为:对于任意两个资产的终期财富A和B 若在未来的任意时期,在某个度量下A不劣于B,那么在当前时刻,该度量下A亦不会 劣于B.进一步,动态时间相容性可以从数学上定义如下 定义2.8对任意0≤r<θ≤T,X,YT∈Cr,如果pr(Xr)≤pr(Yr)能导出 pnr(Xr)≤pxr(Yn),则称多期风险度量{r}0满足时间相容性,也叫动态时间相容 动态时间相容性保证投资者在相应的多期风险度量下,对资产的偏好在各期是 致的文献给出了类似的动态时间相容性的定义.另外,一些文献将定义28 中的不等式变为等式,定义了基于等式的时间相容性.不难看出,由定义28中的动态 时间相容性能推出基于等式的时间相容性,且这两者在多期风险度量满足单调性和平 移不变性的条件下是等价的.进而,不少文献就特定类型的风险度量研究其时间相容 性,比如在动态凸风险度量框架下的时间相容性3和动态一致性风险度量框架下的 时间相容性690 上述对时间相容性的研究都是在仅考虑终期财富的前提下展开的然而,在多期风 险度量的研究中,投资者往往还关注中间各期的财富或损失.从而,文献在考虑了整 个投资区间现金流的基础上,提出了时间相容性的定义.具体地可表述为 定义2.9对任意的0<r<6<T和Xx,Yr∈Cx,如果 Xk=1k,k=T,……,6-1,Pr(X,…,XT)≤Pm(Y6,…,Yr) 隐含 P,r(Xr,……,Xr)≤P,m(Yx,…,YT) 则称{r}0满足时间相容性 14
‹SœåÆƨƆÿ© ©ŸÿC5èx¥òáıœºx›˛ä=ù6uëÅC˛^á©Ÿ[111] . ˘ á5üÈu·ÇOéıœºx›˛Èkêœ. 2.3 ûmÉN5 Èıœºx›˛⁄ı „›]|‹¿JØK Û, àœ›]ºxòÑ5`—¥ ƒCz, Öù6u&ELß. œd, èxÿ”œÉmºxäå±9Éù'X“ wcèá, ûmÉN5“¥èx˘´'Xá5ü. ˘ò5ü3C c2ç Ôƒ[6–8,82,85–87] . kNıÿ”/™ûmÉN5J—. òÑú¹e, ÈûmÉN5Ô ƒål¸áê°?1: ıœºx›˛ûmÉN5⁄Å`›]¸—ûmÉN5. !·ÇÚ0 ò ÿ”/™ûmÉN5, ø{án„ÿ”½¬Ém'X. 2.3.1 ƒûmÉN5 @œ'uºx›˛ûmÉN5Ôƒ—¥È™œ„L Û. @ºx›˛ ûmÉN5Ãágéå±{¸/L„è[86]: Èu?ø¸á]™œ„L A ⁄ B, e3ô5?øûœ, 3,ᛲe A ÿu B, @o3cûè, T›˛e A ½ÿ¨ u B. ?ò⁄, ƒûmÉN5å±lÍÆ˛½¬Xe. ½¬ 2.8 È?ø 0 ≤ τ < θ ≤ T, XT , YT ∈ LT , XJ ρθ,T (XT ) ≤ ρθ,T (YT ) U— ρτ,T (XT ) ≤ ρτ,T (YT ), K°ıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜vûmÉN5, èƒûmÉN 5. ƒûmÉN5y›]ˆ3ÉAıœºx›˛e, È]†–3àœ¥ò ó. ©z[88,89] â— aqƒûmÉN5½¬. , , ò ©z[81] Ú½¬ 2.8 •ÿ ™Cè ™, ½¬ ƒu ™ûmÉN5. ÿJw—, d½¬ 2.8 •ƒ ûmÉN5UÌ—ƒu ™ûmÉN5, Ö˘¸ˆ3ıœºx›˛˜v¸N5⁄² £ÿC5^áe¥ d. ? , ÿ©z“A½a.ºx›˛ÔƒŸûmÉN 5, 'X3ƒ‡ºx›˛µeeûmÉN5[83,84] ⁄ƒòó5ºx›˛µee ûmÉN5[6,90] . ˛„ÈûmÉN5Ôƒ—¥3=ƒ™œ„LcJe–m. , , 3ıœº x›˛Ôƒ•, ›]ˆ Ñ'5•màœ„L½õî. l , ©z[8] 3ƒ á›]´my76ƒ:˛, J— ûmÉN5½¬. ‰N/åL„è: ½¬ 2.9 È?ø 0 ≤ τ < θ ≤ T ⁄ Xτ,T , Yτ,T ∈ Lτ,T , XJ Xk = Yk, k = τ, · · · , θ − 1, ρθ,T (Xθ, · · · , XT ) ≤ ρθ,T (Yθ, · · · , YT ) ¤¹ ρτ,T (Xτ , · · · , XT ) ≤ ρτ,T (Yτ , · · · , YT ), K° {ρt,T } T t=0 ˜vûmÉN5. 14
2多期风险度量 在文献中,作者将上面的不等号换成等号来定义时间相容性,其可表述为:对任 意的两个随机过程{X}和{}Y},若在未来的θ期这两个随机过程的风险度量值相同 且在r期和θ期之间{X}和{}}具有相同的值,则在当前的r时刻,该度量下随机过 程{X}和{YH}的风险度量值也相等 在后文中,除非特别说明,我们提到的时间相容性均指定义2.9中所述的时间相容 2.32弱时间相容性 在一些文献中,将上一节中的时间相容性称作强时间相容性.因为在一定条件下, 任一强时间相容的风险度量都可以写成递归的形式,强时间相容性就限定了多期风险 度量的可能形式.基于此,一些较弱的时间相容性相继被提出2.591 文献巸。提出了一种基于可接受多期风险度量的弱时间相容性,其主要思想可描 述为:如果某随机过程在未来任意情景下都是可接受(不可接受)的,则该随机过程在 现在也是可接受(不可接受)的 定义210对任意0≤T<t≤T和Xr∈Cr,如果p:r(Xn)≥(≤)0隐含 ρxr(Xr)≥(≤)0,则称多期风险度量{P,r}。满足弱时间相容性,也叫可接受(不可接 受)时间相容性 2.3.3最优投资策略的时间相容性 对于多期投资问题,投资者需要在开始阶段时确定整个投资区间上的投资策略.然 而,当投资者站在未来某期,比如t(t≥1)期,再回头看之前所做的决策,它就有可能 并不是最优的策略了.为此,最优投资策略的时间相容性应运而生 目前而言,大多数多阶段投资组合选择问题的最优投资策略的时间相容性都是参 照贝尔曼最优性原理而提出的18929,其含义为,全局最优策略对应的任意期开始的子 策略对相应子问题依然最优.然而,实际中常见的多阶段投资组合选择问题的最优策略 并不满足时间相容性.例如,文献例证明了基于终期财富ⅤaR的投资组合选择问题的 最优投资策略就不是时间相容的 文献认为最优投资策略的时间相容性不应只检验全局最优策略在局部问题下 的最优性,同时也要考虑局部最优策略的“全局最优性”.文献指出,即使是基于贝 尔曼最优性原理的时间相容性依然要求很强,从而提出了一个更弱的时间相容性:有效 时间相容性.而文献网则认为最优投资策略的时间相容性应该是,任意状态下的最优 策略都不依赖于未来不可能发生的情景,这个定义从本质上讲和局部性质是类似的.在 后文中,除非特别说明,我们所提到最优投资策略的时间相容性,均指基于贝尔曼最优 性原理的时间相容性 进而,多期风险度量的时间相容性和最优投资策略的时间相容性之间的关系也是 一个非常重要的议题.在动态一致性风险度量框架下,文献证明:在一定条件下,如 果多期风险度量是时间相容的,则对应的最优投资策略也满足基于贝尔曼最优性原理 5
2 ıœºx›˛ 3©z[80] •, äˆÚ˛°ÿ “ܧ “5½¬ûmÉN5, ŸåL„è: È? ø¸áëÅLß {Xt} ⁄ {Yt} , e3ô5 θ œ˘¸áëÅLߺx›˛äÉ”, Ö3 τ œ⁄ θ œÉm {Xt} ⁄ {Yt} ‰kÉ”ä, K3c τ ûè, T›˛eëÅL ß {Xt} ⁄ {Yt} ºx›˛äèÉ . 3©•, ÿöAO`², ·ÇJûmÉN5˛ç½¬ 2.9 •§„ûmÉN 5. 2.3.2 fûmÉN5 3ò ©z•, Ú˛ò!•ûmÉN5°ärûmÉN5. œè3ò½^áe, ?òrûmÉNºx›˛—屧48/™, rûmÉN5“Ž ıœºx ›˛åU/™. ƒud, ò fûmÉN5ÉUJ—[82,85,91] . ©z[82,85] J— ò´ƒuå…ıœºx›˛fûmÉN5, ŸÃágéå£ „è: XJ,ëÅLß3ô5?øúµe—¥å… (ÿå…) , KTëÅLß3 y3è¥å… (ÿå…) . ½¬ 2.10 È?ø 0 ≤ τ < t ≤ T ⁄ XT ∈ LT , XJ ρt,T (XT ) ≥ (≤)0 ¤¹ ρτ,T (XT ) ≥ (≤)0, K°ıœºx›˛ {ρt,T } T t=0 ˜vfûmÉN5, èå… (ÿå …) ûmÉN5. 2.3.3 Å`›]¸—ûmÉN5 Èuıœ›]ØK, ›]ˆIá3m© „û(½á›]´m˛›]¸—. , , ›]ˆ’3ô5,œ, 'X t (t ≥ 1) œ, 2£fiwÉc§â˚¸, ß“kåU øÿ¥Å`¸— . èd, Å`›]¸—ûmÉN5A$ ). 8c Û, åıÍı „›]|‹¿JØKÅ`›]¸—ûmÉN5—¥Î Ï˘Å`5n J—[18,92,93] , Ÿ¹¬è, ¤Å`¸—ÈA?øœm©f ¸—ÈÉAfØKù,Å`. , , ¢S•~Ñı „›]|‹¿JØKÅ`¸— øÿ˜vûmÉN5. ~X, ©z[94] y² ƒu™œ„L VaR ›]|‹¿JØK Å`›]¸—“ÿ¥ûmÉN. ©z[95] @èÅ`›]¸—ûmÉN5ÿAêu ¤Å`¸—3¤‹ØKe Å`5, ”ûèფ‹Å`¸— “ ¤Å`5”. ©z[93] ç—, =¶¥ƒu ˘Å`5nûmÉN5ù,á¶Èr, l J— òáçfûmÉN5: k ûmÉN5. ©z[78] K@èÅ`›]¸—ûmÉN5AT¥, ?øGeÅ` ¸——ÿù6uô5ÿåUu)úµ, ˘á½¬l ü˛˘⁄¤‹5ü¥aq. 3 ©•, ÿöAO`², ·Ç§JÅ`›]¸—ûmÉN5, ˛çƒu˘Å` 5nûmÉN5. ? , ıœºx›˛ûmÉN5⁄Å`›]¸—ûmÉN5Ém'Xè¥ òáö~áÆK. 3ƒòó5ºx›˛µee, ©z[6] y²: 3ò½^áe, X Jıœºx›˛¥ûmÉN, KÈAÅ`›]¸—è˜vƒu˘Å`5n 15