Newton- cotes公式(续) 故求积公式可写为(x)(b-a)x+6h),其 中c"称为柯特斯系数,上式称为 Newton- Cotes公式。 可以证明cA (n 2004-11-1 21
2004-11-1 21 Newton-cotes公式 （续） 故求积公式可写为∫ ∑ ,其 = ≈ − + b a n k n k f x dx b a c f x kh 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (n ) k 中 称 c 为柯特斯系数，上式称为Newton----Cotes公式。 可以证明 。 ( ) (n) n k nk c c = −
Newton- cotes公式(续) 当n=1时, 1-0 (t-1) (t-1)d=(-1) 1.10! 1-1 tdt=-t 1.l0J 0 (b-a) x)cx≈ f(a)+f(b) 上式称为梯形公式 2004-11-1 22
2004-11-1 22 Newton-cotes公式 （续） 当n=1时， 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1!0! ( 1) 1 0 1 0 1 0 2 (1) 0 = − − = − × ⋅ ⋅ − = ∫ − t c t dt ∫ = = ⋅ ⋅ − = − 1 0 1 0 2 1 1 (1) 1 2 1 2 1 1 1!0! ( 1) c tdt t ∫ + − ≈ ba f a f b b a f x dx [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 上式称为梯形公式
Newton-cotes公式(续) n2可计算=1c=e2 b 故有f(x)≈(b-m)f(a)+f(0)+∫(b) 2 它称为辛浦生( Simpson)公式或抛物线公式 n=4 Newton- -Cotes公式为 f(xkx(b=a(0(x)+0/(x) 12 32 。f(x2)+f(x3)+∫(x4) 90 90 90 其中,xk=a0+hh(k=0,1,…,4) 这个公式特别称为柯特斯公式。 2004-11-1
2004-11-1 23 Newton-cotes公式 （续） n=2可计算 6 1 6 4 6 1 (2) 2 (2) 1 (2) c 0 = c = c = ( )] 6 1 ) 2 ( 6 4 ( ) 6 1 ( ) ( )[ f b a b f x dx b a f a f b a + + ≈ − + 故有 ∫ 它称为辛浦生（Simpson）公式 或抛物线公式 n=4 Newton—Cotes公式为 ( )] 90 7 ( ) 9032 ( ) 9012 ( ) 9032 ( ) 90 7 [ 2 3 4 0 1 f x f x f x f x dx b a f x f x b a + + + ≈ − + ∫ （ ） （ ） 其中， ( 0,1, ,4 ) x k = a 0 + kh k = L 这个公式特别称为柯特斯公式
Newton- cotes公式(续) Remark:对n+1个节点的 Newton - cote公式,当n 为奇数时,Nen1 on--Cotes公式的代数精度至少为n次; 当n为偶数时, Newton--Cotes公式的代数精度至少为 n+1次 只要验证,当n为偶数时, Newton-Cotes公式对 +1 P1(x)=∑ax准确成立即可 k=0 由Pm+(x)=(n+1)anH (n+1 R[Pn+1]=1-1n b p (2) (x)dx 2004-11-1 n
2004-11-1 24 Newton-cotes公式 （续） Remark：对n＋1个节点的Newton—Cotes公式，当n 为奇数时，Newton—Cotes公式的代数精度至少为n次； 当n为偶数时，Newton—Cotes公式的代数精度至少为 n＋1次。 只要验证，当n为偶数时，Newton—Cotes公式对 ∑ + = + = 1 0 1 ( ) n k k n k P x a x 准确成立即可。 1 ( 1) 1 ( ) ( 1)! + + + = + n n 由Pn x n a ∫ + + + + = − = b a n n n n n x dx n p R P I I ( ) ( 1)! ( ) [ ] 1 ( 1) 1 1 ω ξ ＋
Newton- cotes公式(续) RP=am∏(x=x j=0 令x=a+sh,并注意x,=a+则, n R[P+]=an"s(s-1).(S-n)ds 当n为偶数,即n=2k,k为正整数,再令s=H+k(u=s-k) s(s-1)…(S-m)ds=s(s-1)…(s-kS-k-1)…(s-2k+1)-2kds (k)(k-1)…l(l-1)…(u-k+1)(-k) Ll 2004-11-1
2004-11-1 25 Newton-cotes公式 （续） ∫ ∏ = + = + − b a n j n n j R P a x x dx 0 1 1 即 [ ] （ ） ∫ = − − + + + n n n n R P a h s s s n ds 0 2 1 1 [ ] （ 1）LL( ) 令x= a+sh，并注意x j = a + jh 则， 当n为偶数，即n=2k，k为正整数，再令s=u+k（u=s-k） ∫ ∫ − − = − − − − − + − n n s s s n ds s s s k s k s k s k ds 0 0 （ 1）L( ) ( 1)L( )( 1)L( 2 1)( 2 ) ∫− + + − − − + − kk ＝ (u k)(u k 1)Lu(u 1)L(u k 1)(u k)du